[論文レビュー] Lp expander Complexes

Amitay Kamber|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2016

Graph theory and applications参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Iwahori-Hecke代数の表現論を用いて、高次元の建物への拡張グラフおよびラマヌジャングラフの統一的一般化として、$L_p$-拡張複体を導入する。これらの複体における組合せ的作用素の明示的スペクトルギャップを確立し、伊原ゼータ関数を一般化し、複体がラマヌジャンであることは、そのゼータ関数がリーマン予想を満たすことと同値であることを証明する。

ABSTRACT

We discuss two combinatorical ways of generalizing the definition of expander graphs and Ramanujan graphs, to quotients of buildings of higher dimension. The two possible definitions are equivalent for affine buildings, giving the notion of an Lp-expander complex. We calculate explicit spectral gaps on many combinatorical operators, on any Lp-expander complex. We associate with any complex a natural "zeta function", generalizing the Ihara-Hashimoto zeta function of a finite graph. We generalize a well known theorem of Hashimoto, showing that a complex is Ramanujan if and only if the zeta function satisfies the Riemann hypothesis.

研究の動機と目的

• 表現論を用いて、拡張グラフおよびラマヌジャングラフを高次元単体複体へ一般化すること。
• $L^2(\Gamma\backslash G)$における行列係数の$p$-温度性を用いて、$p$-2の場合を拡張する$L_p$-拡張複体を定義すること。
• $L_p$-拡張複体における組合せ的作用素の明示的スペクトルギャップを確立すること。
• 伊原・橋本のゼータ関数を一般化するゼータ関数を定義し、それがラマヌジャン性とリーマン予想を満たすことは同値であることを証明すること。
• 非アーチメデス的局所体上の半単純群を有する建物の商が、$L_p$-拡張を満たすことを示し、マーガリスの構成を一般化すること。

提案手法

• アフィン建物上の$W$-距離を用いて、セル間の距離を定義し、球面平均作用素$\rho_{C_0}$を定義する。
• $L_2^0$関数の引き戻しがすべての$\epsilon > 0$に対して$L_{p+\epsilon}(B_\phi)$に属するという条件により、$L_p$-拡張複体を定義し、ラマヌジャングラフを一般化する。
• 距離$w$のセルを数える作用素$h_w$によって生成されるIwahori-Hecke代数$H_\phi$を定義し、標準的なHecke関係を満たす。
• Hölderの不等式と$\alpha_{\cdot,\cdot}$および$Q_{\beta'}$係数の組合せ的評価を用いて、$h_\beta$の$L_p$作用素ノルムの上限を導出する。
• 高次元への一般化により、伊原・橋本のゼータ関数を複体へ一般化したゼータ関数を構成する。
• スペクトル的および表現論的道具を用いて、複体がラマヌジャンであることと、そのゼータ関数がリーマン予想を満たすこととは同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表現論的基準を用いて、ラマヌジャングラフの概念を高次元複体へ一般化できるか？
• RQ2 性質(T)を有する局所体上の半単純群を有するアフィン建物の商が、$p > 2$に対して$L_p$-拡張を満たすか？
• RQ3 高次元のゼータ関数が、伊原・橋本のゼータ関数を一般化し、かつ複体がラマヌジャンであることとリーマン予想を満たすことは同値であるか？
• RQ4 $L_p$-拡張複体における組合せ的作用素の明示的スペクトルギャップは何か？
• RQ5 $p$-温度性の表現が、建物の商における$L_p$-拡張性とどのように関係するか？

主な発見

• 非アーチメデス的局所体上の半単純群を有する建物の有限商複体$X$は、アフィンコクセター型に依存する$p_0$に対して、$L_{p_0}$-拡張である。
• $\tilde{A}_n$の場合、$\|h_\beta\|_p$のスペクトルギャップの上限は、$\left|W_0\right| \cdot |2q_{\text{max}}|^{l(\tilde{w}_0)} \cdot (l(\beta)+1)^{l(\tilde{w}_0)} \cdot q_\beta^{(p-1)/p}$である。
• $L_p$-拡張複体のゼータ関数は、その複体がラマヌジャンであることと同値にリーマン予想を満たす。
• $L_2$-拡張条件（ラマヌジャン性）は、すべての$\epsilon > 0$に対して$L_{2+\epsilon}$-拡張と同値であり、古典的定義を一般化する。
• $L_p$-拡張条件は、Iwahori固定ベクトルを有する$L^2(\Gamma\backslash G)$のすべての部分表現の$p$-温度性と同値である。
• $h_\beta$のスペクトルギャップの上限は、すべてのセルと色に対して一様であるため、頂点を超える高次元の面の解析が可能になる。