[論文レビュー] Majorana-Oppenheimer approach to Maxwell electrodynamics in Riemannian space-time

A. A. Bogush, В. М. Редьков+2 more|ArXiv.org|May 3, 2009

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 78被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、マジョラナ＝オッペンハイマーの複素3ベクトルアプローチを用いて、リーマン空間時空におけるマクスウェル電磁力学の行列形式を展開し、SO(3,C)複素回転群に埋め込む。4×4行列 αᵇ および βᵇ を用いて真空中および線形媒体における統一的な行列形式を導出し、ディラック行列との関係を確立するとともに、複素直交回転を介してミンコフスキーの構成関係を代数的に定式化することで、曲がった空間時空における古典的電磁力学の共変的でスピンルル的記述が可能になる。

ABSTRACT

The Riemann -- Silberstein -- Majorana -- Oppengeimer approach to the Maxwell electrodynamics in presence of electrical sources and arbitrary media is investigated within the matrix formalism. The symmetry of the matrix Maxwell equation under transformations of the complex rotation group SO(3.C) is demonstrated explicitly. In vacuum case, the matrix form includes four real $4 imes 4$ matrices $α^{b}$. In presence of media matrix form requires two sets of $4 imes 4$ matrices, $α^{b}$ and $β^{b}$ -- simple and symmetrical realization of which is given. Relation of $α^{b}$ and $β^{b}$ to the Dirac matrices in spinor basis is found. Minkowski constitutive relations in case of any linear media are given in a short algebraic form based on the use of complex 3-vector fields and complex orthogonal rotations from SO(3.C) group. The matrix complex formulation in the Esposito's form, based on the use of two electromagnetic 4-vector, is studied and discussed. Extension of the 3-vector complex matrix formalism to arbitrary Riemannian space-time in accordance with tetrad method by Tetrode-Weyl-Fock-Ivanenko is performed.

研究の動機と目的

• マジョラナ＝オッペンハイマーの複素3ベクトル形式を、任意のリーマン空間時空幾何に拡張すること。
• 真空中および線形媒体に対して、明示的な共変性を保証する 4×4 行列 αᵇ および βᵇ を用いた行列形式を確立すること。
• 行列形式が SO(3,C) 複素回転に関して不変であることを示し、その形式がローレンツ群構造とどのように関連するかを明らかにすること。
• 複素3ベクトル場と SO(3,C) 変換を用いて、線形媒体のミンコフスキーの構成関係を簡潔な代数的形で表現すること。
• 行列 αᵇ および βᵇ をスピンルーベースにおけるディラック行列と関連づけ、相対論的量子場理論との深い接続を可能にすること。

提案手法

• 電場と磁場を統合するための複素3ベクトル ψᵏ = Eᵏ + i cBᵏ を導入する。
• 四元体法（テトラード＝ヴァイエル＝フォック＝イワネンコ）を用いて、形式を任意のリーマン空間時空幾何に一般化する。
• 4×4 行列 αᵇ および βᵇ を用いてマクスウェル方程式の行列形式を構築し、αᵇ を真空中、βᵇ を媒体に対して用いることで、SO(3,C) 変換に対して対称性を保証する。
• D, E, H, B の組み合わせとして定義される複素3ベクトル場 M および N を用いて、線形媒体の構成関係を簡潔に表現する。
• 接続係数を四元体接続係数として用い、偏導関数を共変微分に置き換えた四元体基底における行列方程式を導出する。
• 行列形式から標準的なテンソル的マクスウェル方程式を再構成し、循環的恒等式 ∇ᵅFᵝᵞ + ∇ᵝFᵞᵅ + ∇ᵞFᵅᵝ = 0 および ∇ᵦHᵦᵅ = jᵅ を用いて等価性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マジョラナ＝オッペンハイマーの複素3ベクトル形式を、任意のリーマン空間時空幾何にどのように一般化できるか。
• RQ2 媒体に対して 4×4 行列 αᵇ および βᵇ を用いたマクスウェル方程式の明示的行列表現は何か。また、それらはディラック行列とどのように関係するか。
• RQ3 行列形式が複素回転群 SO(3,C) に関して不変であることはどのような性質を示し、それはローレンツ群とどのように関連するか。
• RQ4 線形媒体のミンコフスキーの構成関係は、複素3ベクトル場と SO(3,C) 変換を用いて、簡潔な代数的形で表現可能か。
• RQ5 四元体表現における導出された行列方程式は、標準的な共変テンソルマクスウェル方程式にどのように還元されるか。

主な発見

• 真空中のマクスウェル方程式の行列形式は、ローレンツ群と同型である複素回転群 SO(3,C) に関して不変である。
• 行列 αᵇ および βᵇ は明示的に 4×4 実行列として構成され、αᵇ はスピンルーベースにおけるディラック代数の表現をなす。
• 線形媒体に対しては、M = (D + E)/2 + i(B + H)/2 および N = (D − E)/2 + i(B − H)/2 として定義される複素3ベクトル場 M および N を用いて、構成関係が簡潔に表現される。
• 四元体基底における行列方程式は、標準的な一般共変マクスウェル方程式を再現する：∇ᵅFᵝᵞ + ∇ᵝFᵞᵅ + ∇ᵞFᵅᵝ = 0 および ∇ᵦHᵦᵅ = jᵅ。
• 行列方程式の実部および虚部は、ガウスの法則およびファラデーの法則を含む、すべてのマクスウェル方程式の成分形式を導出する。
• 形式は、電流源 J = (1/ε₀ε) × (ρ, i j)ᵀ として表現されるように、真空中と媒体の両ケースを単一の行列構造で統一的に扱える。