[論文レビュー] Making Three Out of Two: Three-Way Online Correlated Selection

Yong-Ho Shin, Hyung-Chan An|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2021

Optimization and Search Problems参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2通りのOCSを2段階にキャスケードして、3つの要素からの選択において負の相関を達成する、新しい3方向オンライン相関選択（3-OCS）アルゴリズムを提示する。この手法により、複雑な出力挙動を近似するための代替分布を活用することで、辺重み付きオンライン二部マッチングにおいて0.5093の競争比を達成し、以前の0.5086の上限を上回った。

ABSTRACT

Two-way online correlated selection (two-way OCS) is an online algorithm that, at each timestep, takes a pair of elements from the ground set and irrevocably chooses one of the two elements, while ensuring negative correlation in the algorithm's choices. Whilst OCS was initially invented by Fahrbach, Huang, Tao, and Zadimoghaddam to solve the edge-weighted online bipartite matching problem, it is an interesting technique on its own due to its capability of introducing a powerful algorithmic tool, namely negative correlation, to online algorithms. As such, Fahrbach et al. posed two tantalizing open questions in their paper, one of which was the following: Can we obtain n-way OCS for n>2, in which the algorithm can be given n>2 elements to choose from at each timestep? In this paper, we affirmatively answer this open question by presenting a three-way OCS. Our algorithm uses two-way OCS as its building block and is simple to describe; however, as it internally runs two instances of two-way OCS, one of which is fed with the output of the other, the final output probability distribution becomes highly elusive. We tackle this difficulty by approximating the output distribution of OCS by a flat, less correlated function and using it as a safe "surrogate" of the real distribution. Our three-way OCS also yields a 0.5093-competitive algorithm for edge-weighted online matching, demonstrating its usefulness.

研究の動機と目的

• Fahrbachらが提起した、n > 2 の場合のn方向OCSの存在に関する未解決問題を解決すること。
• 3つの要素からのオンライン選択において強い負の相関を維持する、シンプルで効果的な3方向OCSを設計すること。
• 3-OCSの実用性を示すために、辺重み付きオンライン二部マッチングの競争比を向上させること。
• 複雑な出力分布を有する2段階OCSの近似手法として、より平坦で対称的な代替分布を考案すること。

提案手法

• アルゴリズムは、3つの要素の中から2つを一様にランダムに選択し、それらを最初の2方向OCSに供給する。
• 最初のOCSの出力を、最初の選択から除外された第3の要素と組み合わせ、2番目の2方向OCSに供給する。
• 最終的な出力は2番目のOCSの出力であり、選択の間で負の相関が保証される。
• この手法は、2段階OCSの真の出力分布を近似するために、より平坦で対称的な代替分布を用いる。
• 2方向OCS出力の単峰性と対称性を活用し、共通要素の繰り返し非選択確率を上限付ける。
• 有界変数を用いた要因解明線形計画法を定式化し、競争比を計算する。ここで、k_max = 25 および ℓ_max = 25 で切り捨てを実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3方向オンライン相関選択アルゴリズムを構築可能か。その際、3つの要素からの選択において負の相関を維持できるか。
• RQ2 2段階の2方向OCSの複雑な出力分布をどのように近似し、解析を可能にするか。
• RQ3 提案された3-OCSを用いて、辺重み付きオンライン二部マッチングの競争比はどの程度達成できるか。
• RQ4 3-OCS手法は、従来の0.5086の競争比を上回ることができるか。
• RQ5 代替分布技術は、2段階OCSにおける非選択確率を上限付けるために形式的に正当化可能か。

主な発見

• 提案された3-OCSは、辺重み付きオンライン二部マッチングにおいて、0.50930725の競争比を達成し、従来の0.5086の上限を上回った。
• アルゴリズムは、2段階の2方向OCSを用いて構成されており、2番目のOCSは1番目のOCSの出力と非選択要素を受け取る。
• 解析では、選択回数の真の分布を近似するために、より平坦で対称的な代替分布を用い、解析可能な上限を導出可能とした。
• 競争比は、k_max = 25 および ℓ_max = 25 を用いた要因解明線形計画法により導出され、Γ = 0.50930725 を得た。
• 非マルコフ的依存性の問題に対処するにあたり、単峰性の対称性と凸近似を活用した。
• この結果により、OCSを2方向選択を超えて拡張可能であることが確認され、オンラインマッチングアルゴリズムの新しいベンチマークが確立された。