[論文レビュー] Many-body topological invariants in fermionic symmetry protected topological phases

Ken Shiozaki, Hassan Shapourian+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Topological Materials and Phenomena被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、空間的領域 D における部分点群変換を用いてフェルミオン系の対称性保護型トポロジカル相（SPT相）の多体トポロジカル不変量を導入する。この変換の基底状態期待値は、量子化された位相 θ とスケールに依存しない振幅寄与項 γ を示し、θ は (1+1)D、(2+1)D、(3+1)D システムにおいて点群対称性によって保護される非自明な相を検出するトポロジカル不変量として機能する。

ABSTRACT

We propose the definitions of many-body topological invariants to detect symmetry-protected topological phases protected by point group symmetry, using partial point group transformations on a given short-range entangled quantum ground state. Partial point group transformations $g_D$ are defined by point group transformations restricted to a spatial subregion $D$, which is closed under the point group transformations and sufficiently larger than the bulk correlation length $\xi$. By analytical and numerical calculations,we find that the ground state expectation value of the partial point group transformations behaves generically as $\langle GS | g_D | GS angle \sim \exp \Big[ i heta+ \gamma - \alpha \frac{{ m Area}(\partial D)}{\xi^{d-1}} \Big]$. Here, ${ m Area}(\partial D)$ is the area of the boundary of the subregion $D$, and $\alpha$ is a dimensionless constant. The complex phase of the expectation value $ heta$ is quantized and serves as the topological invariant, and $\gamma$ is a scale-independent topological contribution to the amplitude. The examples we consider include the $\mathbb{Z}_8$ and $\mathbb{Z}_{16}$ invariants of topological superconductors protected by inversion symmetry in $(1+1)$ and $(3+1)$ dimensions, respectively, and the lens space topological invariants in $(2+1)$-dimensional fermionic topological phases. Connections to topological quantum field theories and cobordism classification of symmetry-protected topological phases are discussed.

研究の動機と目的

• 点群対称性によって保護されるフェルミオン系の対称性保護型トポロジカル（SPT）相のための新しい多体トポロジカル不変量を定義すること。
• 空間的部分領域 D に制限された部分点群変換を用いた非自明な SPT秩序の検出フレームワークを確立すること。
• 部分対称性操作の期待値における量子化された位相 θ およびスケールに依存しない振幅 γ をトポロジカル不変量として同定すること。
• 提案された不変量とトポロジカル量子場理論、および SPT相のコボルディズム分類との関係を確立すること。

提案手法

• 基底状態が群作用に関して閉じており、相関長 ξ よりも大きい空間的領域 D に制限された点群操作 g_D を定義する。
• 基底状態期待値 ⟨GS|g_D|GS⟩ を計算し、D の境界面積に関する漸近的挙動を分析する。
• 関数形 ⟨GS|g_D|GS⟩ ∼ exp[iθ + γ - α·Area(∂D)/ξ^{d−1}] を導出する。ここで θ はトポロジカル不変量、γ はスケールに依存しない振幅寄与項である。
• 解析的および数値的手法を用いて、θ の量子化および γ の普遍性がさまざまな SPT相で成立することを検証する。
• Z_8 および Z_16 不変量が逆変換対称性によって保護される (1+1)D および (3+1)D のトポロジカル超伝導体、および (2+1)D フェルミオン系相におけるレンズ空間不変量を、同様の枠組みで適用する。
• 不変量とトポロジカル量子場理論、および SPT相のコボルディズム分類との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点群対称性によって保護されるフェルミオン系 SPT相に対して、どのように多体トポロジカル不変量を定義できるか？
• RQ2 部分点群変換の期待値が部分領域 D の幾何的性質にどのように依存するか？
• RQ3 期待値 ⟨GS|g_D|GS⟩ の位相 θ は量子化されており、局所的摂動に対して安定か？
• RQ4 振幅寄与項 γ は系のサイズや相関長に依存しないか？
• RQ5 これらの不変量は、コボルディズム分類やトポロジカル量子場理論といった既存の分類とどのように関係するか？

主な発見

• 部分点群変換の基底状態期待値 ⟨GS|g_D|GS⟩ は、量子化された位相 θ とスケールに依存しない振幅寄与項 γ を含む普遍的な形を示す。
• 位相 θ は量子化されており、自明な SPT相と非自明な SPT相を区別するトポロジカル不変量として機能する。
• 振幅寄与項 γ は系のサイズや相関長に依存せず、安定なトポロジカル寄与を示している。
• この形式は、逆変換対称性によって保護される (1+1)D および (3+1)D トポロジカル超伝導体における Z_8 および Z_16 不変量を効果的に検出する。
• 同様の枠組みにより、(2+1)D フェルミオン系トポロジカル相におけるレンズ空間不変量が同定される。
• 結果はトポロジカル量子場理論および SPT相のコボルディズム分類からの予測と整合しており、多体実現としての妥当性を示している。