[論文レビュー] Marcinkiewicz-type discretization of $L^p$-norms under the Nikolskii-type inequality assumption

Egor D. Kosov|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$L^p(\mu)$ の有限次元部分空間に対して、Nikolskii型不等式を仮定することで、$L^p$-ノルムの近似的最適なサンプリング離散化バウンドを確立する。先進的なチェインジング技法とエントロピー積分推定を活用することで、高確率的離散化に $m = O(N)$ 個のサンプリング点を達成し、周辺近似に関する既存の結果を精緻化するとともに、Bourgain-Lindenstrauss-Milmanの埋め込み定理を回復する。

ABSTRACT

The paper studies the sampling discretization problem for integral norms on subspaces of $L^p(μ)$. Several close to optimal results are obtained on subspaces for which certain Nikolskii-type inequality is valid. The problem of norms discretization is connected with the probabilistic question about the approximation with high probability of marginals of a high dimensional random vector by sampling. As a byproduct of our approach we refine the result of O. Gu$\acute{e}$don and M. Rudelson concerning the approximation of marginals. In particular, the obtained improvement recovers a theorem of J. Bourgain, J. Lindenstrauss, and V. Milman concerning embeddings of finite dimensional subspaces of $L^p[0, 1]$ into $\ell_p^m$. The proofs in the paper use the recent developments of the chaining technique by R. van Handel.

研究の動機と目的

• 有限次元部分空間 $L \subset L^p(\mu)$ に対して、Nikolskii型不等式を満たす場合の $L^p$-ノルムのサンプリング離散化問題を解く。
• ランダムに $m$ 個の点を抽出することで、$L^p$-ノルムの近似に関する高確率的バウンドを提供する。
• 高次元確率的ベクトルの周辺分布の近似に関する既存の結果を、サンプリングによる方法で精緻化する。
• 有限次元部分空間 $L^p[0,1]$ が $\ell_p^m$ に埋め込まれる古典的埋め込み定理を、確率的離散化によって回復・強化する。
• $L^p$-単位球の制限ノルム下でのエントロピー数およびエントロピー積分の鋭いバウンドを確立する。

提案手法

• 確率的アプローチを用いる：$\mu$ から独立同分布に $m$ 個の点 $X_1, \dots, X_m$ を抽出し、$\|f\|_p^p$ を $\frac{1}{m}\sum |f(X_j)|^p$ で近似する。
• $L$ における $L^p$-単位球 $B = B_p(L)$ に対して期待値 $\mathbb{E}[V_p(B)]$ を分析し、真のノルムからの逸脱をバウンドする。
• R. van Handel によるチェインジング技法の最新発展を応用し、関数族上の経験過程の上界を制御する。
• エントロピー数およびエントロピー積分推定を用いて、$B_p(L)$ の $\|\cdot\|_{\infty,X}$ および $\|\cdot\|_2$ における被覆数をバウンドする。
• $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ 条件を活用し、双対Sudakovバウンドおよびガウス過程を用いて $e_k(B_p(L), \|\cdot\|_{\infty,X})$ のバウンドを導出する。
• エントロピー積分バウンドにおけるパラメータの最適化により、最終的な $m = O(N)$ 結果を導出する。$M$ および $p$ に明示的な依存関係を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元部分空間 $L \subset L^p(\mu)$ に対して、$m = O(N)$ 個のランダムサンプルで高確率的に $L^p$-ノルムを離散化できる条件は何か？
• RQ2 Nikolskii型不等式 $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ は、$L^p$-ノルム離散化のサンプリング複雑度にどのように影響するか？
• RQ3 チェインジング技法を精緻化することで、高次元確率的ベクトルの周辺分布の近似に関するバウンドを改善できるか？
• RQ4 Bourgain, Lindenstrauss, Milman による $L^p[0,1]$ の部分空間が $\ell_p^m$ に埋め込まれる結果は、確率的離散化によって回復または強化できるか？
• RQ5 サンプリング数 $m$ の次元 $N$、Nikolskii定数 $M$、指数 $p$ に対する最適な依存関係は何か？

主な発見

• 本稿は、Nikolskii型不等式 $\|f\|_\infty \leq M\|f\|_2$ を仮定することで、高確率的 $L^p$-ノルム離散化に $m = O(N)$ 個のサンプリング点で十分であることを確立する。
• エントロピー数 $e_k(B_p(L), \|\cdot\|_{\infty,X})$ のバウンドが $O\bigl( [\log m]^{1/2} [\log M]^{1/p - 1/2} M^{2/p} 2^{-k/p} \bigr)$ であることが示され、これが最終結果の鍵となる。
• Rudelson の確率的アプローチによる $p=2$ 時の $m = O(N \log N)$ バウンドを改善し、同じ仮定下で最適な $m = O(N)$ を達成する。
• 古典的定理である Bourgain, Lindenstrauss, Milman による $N$ 次元部分空間が $L^p[0,1]$ に $m = O(N)$ で $\ell_p^m$ に埋め込まれる結果を回復する。
• パラメータの最適化によりエントロピー積分バウンドを精緻化し、$M$、$p$、$N$ に鋭い依存関係を導出し、$p$ のみに依存する明示的定数を得る。
• 本手法により、Gu{\'e}don-Rudelson の周辺近似に関する結果の新たな定量的精緻化が得られ、$M$ および $p$ への依存関係が改善される。