[論文レビュー] Marked Gibbs measures via cluster expansion

Yuri Kondratiev, Tobias Kuna+1 more|ArXiv.org|Aug 4, 1999

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 21被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、一般の局所コン pact な分離可能距離空間（粒子位置のため）および分離可能な距離空間（マークのため）上で、高温および低活量率領域におけるマーク付きギブス測度の存在および一意性を、クラスタ展開技法を用いて確立する。この構成は、ペアポテンシャルによるマーク付きポアソン測度の摂動に依存し、クラスタ展開の推定を用いて収束を証明し、有限範囲の相互作用についてDLR方程式を検証する。

ABSTRACT

We give a sufficiently detailed account on the construction of marked Gibbs measures in the high temperature and low fugacity regime. This is proved for a wide class of underlying spaces and potentials such that stability and integrability conditions are satisfied. That is, for state space we take a locally compact separable metric space $X$ and a separable metric space $S$ for the mark space. This framework allowed us to cover several models of classical and quantum statistical physics. Furthermore, we also show how to extend the construction for more general spaces as e.g., separable standard Borel spaces. The construction of the marked Gibbs measures is based on the method of cluster expansion.

研究の動機と目的

• 統計物理学における任意の基礎空間およびマーク空間上でのマーク付きギブス測度の構成の一般枠組みを構築すること。
• クラスタ展開法をマーク付き構成に拡張し、内部自由度を有する古典的および量子モデルをカバーすること。
• ポテンシャルの安定性および可積分性条件の下で、マーク付きギブス測度の存在および一意性を証明すること。
• 標準的ボレル空間からより一般の可測空間への構成の一般化。
• 有限範囲のポテンシャルに対して、極限測度がDLR方程式を満たすことを確認し、それがギブス測度として正当化されることを示すこと。

提案手法

• 局所コンpact な分離可能な距離空間 $X$ およびマークのための分離可能な距離空間 $S$ 上のマーク付き構成空間 $\Omega_X(S)$ を定義する。
• 測度 $\sigma^\tau = \tau(x,ds)\sigma(dx)$ を用いて、$\Omega_X(S)$ 上にマーク付きポアソン測度 $\pi_{\sigma}^\tau$ を構成する。
• ペアポテンシャル $\phi$ を用いてポアソン測度を指数的傾き変換することで、有限体積のギブス型摂動 $\Pi_\Lambda^{\sigma^\tau,\phi}$ をギブス仕様として定義する。
• 木構造に基づく推定を用いて、分割関数および相関関数の収束をクラスタ展開法で分析する。
• 木の和に関する推定および $|e^{-\beta\phi} - 1|$ の可積分性を用いて展開を制御し、安定性および有限範囲の仮定に依存する。
• 極限測度 $\mu$ が $\pi_{\sigma}^\tau$ に関して局所的に絶対連続であり、有限範囲の $\phi$ に対してDLR方程式を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態空間 $X$、マーク空間 $S$、およびペアポテンシャル $\phi$ に対して、高温および低活量率領域におけるマーク付きギブス測度が存在する条件は何か？
• RQ2 クラスタ展開法は、$\mathbb{R}^d$ よりも抽象的・非平坦な可測空間へのマーク付きギブス測度の構成に一般化可能か？
• RQ3 ポテンシャルが有限範囲でない場合に、マーク付きギブス測度のクラスタ展開の収束をどのように保証できるか？
• RQ4 クラスタ展開による極限測度がDLR方程式を満たすための条件は何か？ これにより、それがギブス測度として正当化される。
• RQ5 この構成は、ボレル空間から一般の標準ボレル空間へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、安定性および可積分性条件の下で、有限体積仕様 $\Pi_\Lambda^{\sigma^\tau,\phi}$ の弱収束として、一意なマーク付きギブス測度 $\mu$ の存在を証明する。
• 極限測度 $\mu$ は、定理5.3で示されるように、マーク付きポアソン測度 $\pi_{\sigma}^\tau$ に関して局所的に絶対連続である。
• 有限範囲のペアポテンシャル $\phi$ に対して、極限測度 $\mu$ はDLR方程式を満たし、定理5.6で示されるようにギブス測度として正当化される。
• クラスタ展開により、$e^{2\beta B}$ および $C(\beta)$ を含む推定が明示的に得られ、木の数え上げは $|\mathfrak{T}([n+1])| = (n+1)^{n-1}$ を用いて行う。
• 構成は分離可能な標準ボレル空間へ拡張され、一般の統計物理学モデルへの適用範囲が拡大される。
• この手法は、電流代数や量子場理論を含む正準量子化スキームにおける基底状態測度の構成に、厳密な基礎を提供する。