[論文レビュー] Martin-Lof identity types in the C-systems defined by a universe category

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|May 24, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ユニバースカテゴリから導かれるCシステムにおけるMartin-Löfの同一性型を解釈するための圏論的枠組みを確立し、J消去子規則を形式化するJ構造を導入する。ユニバースカテゴリの関手によるこれらの構造の関手的性を証明し、単体的集合における型理論のユニバーシャルモデルを構成するための基礎的段階を提供する。

ABSTRACT

This paper continues the series of papers that develop a new approach to syntax and semantics of dependent type theories. Here we study the interpretation of the rules of the identity types in the intensional Martin-Lof type theories on the C-systems that arise from universe categories. In the first part of the paper we develop constructions that produce interpretations of these rules from certain structures on universe categories while in the second we study the functoriality of these constructions with respect to functors of universe categories. The results of the first part of the paper play a crucial role in the construction of the univalent model of type theory in simplicial sets.

研究の動機と目的

• ユニバースカテゴリから生じるCシステムにおけるMartin-Löfの同一性型規則の圏論的解釈を開発すること。
• ユニバースカテゴリから得られるCシステムにJ構造（J消去子の形式化）を定義し構成すること。
• ユニバースカテゴリ間の関手によるこれらのJ構造の関手的性を確立すること。
• 単体的集合における型理論のユニバーシャルモデルを構成するための圏論的基盤を提供すること。

提案手法

• 2種類の射のクラスを備えた圏におけるCシステムおよびユニバースにおけるJ構造を導入する。
• ユニバースカテゴリ $p$ にJ構造が与えられているとき、Cシステム $CC( cal C, p)$ にJ構造を構成する。
• J構造と整合するユニバースカテゴリ関手の概念を用いて、圏間での整合性を保証する。
• 関手とJ構造の間の整合性条件を適用し、構成の関手的性を証明する。
• 自然変換および引き戻し図式を用いて、同一性型およびその消去の振る舞いを形式化する。
• 特に [15, Lemma 5.8] などの先行研究の補題に依拠し、J消去子と構造写像を含む図式の可換性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Martin-Löfの同一性型規則は、ユニバースカテゴリから導かれるCシステムにおいてどのように圏論的に解釈できるか？
• RQ2 どの構造がユニバースカテゴリに存在すれば、関連するCシステムにJ構造が誘導されるか？
• RQ3 ユニバースカテゴリ間の関手によるJ構造の振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 Cシステム間の関手がJ構造を保存するための条件は何か？
• RQ5 J構造の関手的性は、単体的集合におけるユニバーシャルモデルの構成をどのように支援するか？

主な発見

• ユニバースカテゴリにJ構造が存在すれば、それに対応するCシステム $CC( cal C, p)$ に対してもJ構造が誘導され、同一性型の消去規則が形式化される。
• J構造の構成は関手的である：整合性を持つユニバースカテゴリ間の関手が与えられれば、それに対応するCシステム間の関手はJ構造を保存する。
• 関手とJ構造の整合性により、J消去子が圏間で引き戻しと構造写像と可換に保たれる。
• 証明は、自然変換、引き戻し、構造写像を含む図式の可換性の検証に依拠しており、特に [15, Lemma 5.8] および [15, Lemma 6.2(2)] を用いる。
• キーエクイション $\psi_{\Gamma}\circ\Phi(\phi(\Gamma,T,P,s0)\circ Jp)\circ\widetilde{\zeta}_{\bf\Phi} = \phi(H(\Gamma),H(T),H(P),H(s0))\circ Jp'$ は、整合性条件および射影恒等式によって確立される。
• この枠組みにより、同一性型が関連する関手のもとで保存されることを保証し、単体的集合における型理論のユニバーシャルモデルのための圏論的基盤が提供される。