[論文レビュー] Martingale driven BSDEs, PDEs and other related deterministic problems

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 càdlàg マルティングールとマルコフ過程によって駆動される、後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の新たなクラスを導入し、関連する擬似PDEの非結合的弱解に対する確率的表現を確立する。主な貢献は、成長条件およびリプシッツ条件の下で、このような解の存在および一意性を証明することであり、古典的なBSDE-PDEの関係を、拡散型でない、ジャンプ型のマルコフ過程へと拡張する。これは、マルティングール問題の枠組みを用いることで達成される。

ABSTRACT

We focus on a class of BSDEs driven by a cadlag martingale and corresponding Markov type BSDE which arise when the randomness of the driver appears through a Markov process. To those BSDEs we associate a deterministic problem which, when the Markov process is a Brownian diffusion, is nothing else but a parabolic type PDE. The solution of the deterministic problem is intended as decoupled mild solution, and it is formulated with the help of a time-inhomogeneous semigroup.

研究の動機と目的

• càdlàg マルティングールによって駆動される新しいクラスのBSDEを導入することで、一般のマルコフ過程（ブラウン運動でない、ジャンプ拡散型または一般のマルコフ過程）に対し、古典的なBSDE-PDE対応を拡張すること。
• 非拡散的設定における粘性解の限界を克服するため、擬似PDEの非結合的弱解の概念を導入すること。
• マルティングール問題の定式化に基づき、マルコフ型BSDEを用いて、決定的解の確率的表現を確立すること。
• 係数に関する適切な正則性および可積分性条件の下で、多項式成長を有するボレル関数の範囲において、非結合的弱解の存在および一意性を証明すること。

提案手法

• 連続増加過程 $\hat{V}$、平方可積分マルティングール $\hat{M}$、終端条件 $\xi$、およびドライバー $\hat{f}$ によって駆動される一般のBSDEを定式化し、解 $Y = \xi + \int \hat{f}(r, \cdot, Y_r, d\langle M, \hat{M}\rangle/d\hat{V}_r) d\hat{V}_r - (M_T - M_\cdot)$ を得る。
• 生成子 $a$ および増加過程 $V$ を持つマルコフ過程 $X$ が、$\phi \in \mathcal{D}(a)$ に対して $M[\phi]^{s,x}$ が $\mathbb{P}^{s,x}$-マルティングールであることを保証するマルティングール問題を定式化する。
• 多項式成長を有するボレル関数の空間上で、演算子 $\mathfrak{G}^\psi$ を用いてBSDEの $Z$-成分を解の勾配に関連付ける、ピカール反復スキームを定義する。
• $L^2(dV \otimes d\mathbb{P}^{s,x})$-空間における固定点定理を用いて、反復列の収束を証明し、非結合的弱解 $u$ を得る。
• 解 $u(s,x) = Y^{s,x}_s$ がボレル関数であり、$\mathbb{P}^{s,x}$-ほとんど確実にBSDEの表現を満たすことが示される。
• マルティングール表現定理および生成子 $a$ の構造を用いて、ドライバーが $d\langle M, M[\psi]\rangle/dV$ に依存することを、$\mathfrak{G}^\psi$ を通じて解の勾配に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のジャンプ付きマルコフ過程（拡散過程ではない）を基礎とする非線形PDEの解に対して、確率的表現を確立できるか？
• RQ2 比較原理が成立しない非拡散的設定において、粘性解の概念をどのように置き換えたり拡張したりできるか？
• RQ3 非マルコフ的または滑らかでない設定において、BSDEの $Z$-成分と解の勾配との間の明確な関係は何か？
• RQ4 càdlàg マルティングールによって駆動されるBSDEにより、非結合的弱解が存在し、一意的に表現可能となる条件は何か？
• RQ5 擬似PDEの解が、確率的枠組みにおけるピカール反復スキームの極限として構成可能か？

主な発見

• 本稿は、与えられた仮定の下で、多項式成長を有するボレル関数の範囲において、関連する擬似PDEに対する非結合的弱解 $u$ の存在および一意性を確立する。
• 解 $u(s,x)$ は、$\mathbb{P}^{s,x}$ の下でマルコフ型BSDEの解の初期値 $Y^{s,x}_s$ として特徴付けられ、確率的表現が得られる。
• BSDEの $Z$-成分が $\mathfrak{G}^\psi(u)$ によって表現されることを示し、これは拡散ケースにおける勾配 $\sigma \nabla_x u$ を一般化する。
• 反復列 $u_k$ の $L^2(dV \otimes d\mathbb{P}^{s,x})$ における収束が証明され、解が確率的意味で適切に定義されていることが保証される。
• ドライバー $f$ が $f(\cdot, \cdot, 0, 0)$ およびリプシッツ定数が $\mathcal{L}^2_X$ に属するとき、$f$ が $\mathcal{L}^2_X$ に属することを示し、固定点定理のための可積分性が保証される。
• 極限 $\bar{u} = \limsup u_k$ が、ドライバー $f(r, X_r, \bar{u}(r,X_r), v(r,X_r))$ を持つBSDEを満たすことが確認され、$\bar{u}$ が決定的問題の解であることが示される。