[論文レビュー] Martingale representations in progressive enlargement setting: the role of the accessible jump times

Antonella Calzolari, Barbara Torti|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、進行的拡大設定におけるマルティンゲール表現を調査し、FVH-マルティンゲールの多重性が、二つのマルティンゲール M と N の共通の可到達跳躍時刻の挙動に強く依存することを示している。同値なデカップリング測度のもとで、Kusuokaの表現定理を、これらの跳躍時刻の役割を組み込む形に拡張し、その予測可能性と一致が表現構造に与える影響を明らかにした。

ABSTRACT

Let M and N be an F-martingale and an H-martingale respectively on the same probability space, both enjoying the predictable representation property. We discuss how, under the assumption of the existence of an equivalent decoupling measure for F and H, the nature of the jump times of M and N affects the representation of the FVH-martingales.~More precisely we show that the multiplicity in the sense of Davis and Varaiya of FVH depends on the behavior of the common accessible jump times of the two martingales. Then we propose an extension of Kusuoka's representation theorem.

研究の動機と目的

• 進行的拡大フレームワークにおけるFVH-マルティンゲールの表現に、可到達跳躍時刻の性質がどのように影響するかを理解すること。
• 二つの F-および H-マルティンゲール間の共通の跳躍時刻が、表現の多重性に与える影響を分析すること。
• 同値なデカップリング測度の下で、可到達跳躍時刻の役割を組み込んだ形でKusuokaの表現定理を拡張すること。
• 予測可能な表現性が拡大フィルトレーション設定で保持される条件を明確にすること。

提案手法

• フィルトレーション F および H に対して同値なデカップリング測度の存在を仮定し、従属構造の分離を可能にする。
• F および H-マルティンゲール M および N それぞれについて、予測可能な表現性（PRP）を分析する。
• M および N の共通の可到達跳躍時刻の挙動を検討し、それが FVH-マルティンゲールの多重性に与える影響を特定する。
• Davis と Varaiya の多重性の概念を用いて、跳躍時刻の一致に基づいて FVH-マルティンゲールの構造を特徴付ける。
• 可到達跳躍の予測可能性と同時発生を考慮した、Kusuokaの表現定理の拡張版を導出する。
• 進行的拡大フィルトレーションにおける確率積分を用いて、跳躍時刻および局所マルティンゲール成分を含む表現式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二つのマルティンゲール間の共通の可到達跳躍時刻は、進行的拡大における FVH-マルティンゲールの多重性にどのように影響するか？
• RQ2 デカップリング測度下で、可到達跳躍時刻は FVH-マルティンゲールの表現構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ3 跳躍時刻の予測可能性は、拡大フィルトレーションにおける FVH-マルティンゲールの表現をどのように変更するか？
• RQ4 Kusuokaの表現定理は、進行的拡大における可到達跳躍時刻の影響をどのように一般化できるか？
• RQ5 跳躍時刻が共有されたり同期化されたりする場合、FVH-マルティンゲールに対して予測可能な表現性が保持される条件は何か？

主な発見

• Davis と Varaiya が定義する FVH-マルティンゲールの多重性は、基礎となる F および H-マルティンゲールの共通の可到達跳躍時刻の挙動に直接的に依存する。
• 共通の可到達跳躍時刻が予測可能で一致する場合、FVH-マルティンゲール表現の構造はより制約され、多重性が低下する。
• 同値なデカップリング測度の存在により、従属関係が明確に分離され、拡張された表現式の導出が可能になる。
• 提案された Kusuoka の定理の拡張は、可到達跳躍時刻の役割を組み込んでおり、進行的拡大における表現のより包括的な枠組みを提供する。
• FVH-マルティンゲールの表現は、M および N の個別の PRP のみならず、それらの可到達跳躍時刻の共同予測可能性にも依存する。
• 本稿は、共通の可到達跳躍の一致と予測可能性が、FVH-マルティンゲールが一意の表現をもつか、複数の表現をもつかを決定づける重要な要因であることを確立した。