[論文レビュー] Master Space and Hilbert Series for N=1 Field Theories

Davide Forcella|ArXiv.org|Feb 12, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 137被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、トーリックCalabi-Yau特異点におけるD3-braneから生じる$\mathcal{N}=1$超 conformal場理論を分析するための体系的枠組みを構築する。マスター空間とヒルベルト級数を用い、場理論におけるメゾニクスおよびバリオン的BPSオペレーターとその重力双対との間の正確な対応を幾何的不変量を通じて確立し、トーリック幾何学と整数格子に基づいたBPS状態およびチラルリング構造の完全な数え上げ手法を提供する。

ABSTRACT

Master Space and Hilbert Series are general tools to study any N=1 supersymmetric field theory. We concentrate on the particular case of N=1 super conformal field theories living on D3 branes at toric Calabi Yau singularities. We start reviewing the topic of branes at singularities, their algebraic geometric and field theory description. We then study the complete moduli spaces for N=1 and generic N number of branes, their different branches, their geometric properties and their symmetries. We study the spectrum of BPS operators both mesonic and baryonic, for N=1 and generic N number of branes, in the field theory and in the dual gravity side and the map between the two. More topics like the study of fermionic BPS operators, the modification of the moduli spaces and the chiral rings under marginal deformations and Seiberg Duality, are also briefly discussed. This paper is a revised version of the author's PhD thesis and it is aimed to give a pedagogical introduction to the use of Master Space and Hilbert Series to investigate supersymmetric field theories.

研究の動機と目的

• マスター空間とヒルベルト級数を、$\mathcal{N}=1$超対称場理論を研究するためのツールとして、教育的かつ包括的に紹介すること。
• 場理論におけるBPSオペレーター（メゾニクスおよびバリオン的）とAdS/CFT設定におけるその重力双対状態との間の正確な対応を確立すること。
• トーリックCalabi-Yau特異点におけるD3-braneのモジュライ空間構造（その分岐および対称性を含む）を体系的に計算する手法を開発すること。
• ヒルベルト級数形式主義をバリオン的量子数を含めるように一般化し、幾何学的および代数的技法を用いてBPS状態の生成関数を導出すること。
• 場理論の双対性（セイバーグ双対性）、可換変形およびチラルリングとモジュライ空間幾何学の構造との相互作用を調査すること。

提案手法

• マスター空間形式主義を用いて、$\mathcal{N}=1$クオーバーゲージ理論の全モジュライ空間を記述し、それがトーリックCalabi-Yau多様体として特徴づけられることを特定する。
• プレチスティック指数（PE）を用いたヒルベルト級数技法を適用し、BPSオペレーターの生成関数を計算することで、それらのR荷およびフレーバー対称性内容を符号化する。
• ドミアーモデルと完全一致を用いて、精製されたヒルベルト級数を計算し、モジュライ空間のトーリックデータを抽出する。
• ラインバンドおよびCalabi-Yau上の除数を介した幾何的アプローチを導入し、それらを場理論におけるバリオン的U(1)対称性と結びつける。
• シンプレクティック商構成を用いて、メゾニクスモジュライ空間をゲージ対称性によるマスター空間の商として実現する。
• 一般化された幾何学およびGKZファン技法を用いて、整数格子点を用いてBPS状態の分配関数および重複度を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マスター空間形式主義を、トーリックCalabi-Yau特異点におけるD3-brane上に配置された$\mathcal{N}=1$クオーバーゲージ理論のモジュライ空間を分類するための体系的かつ一貫した方法でどのように適用できるか。
• RQ2 場理論におけるメゾニクスおよびバリオン的BPSオペレーターと、AdS/CFT双対性におけるそれらの重力双対状態との間の正確な対応は何か。
• RQ3 可換変形およびセイバーグ双対性は、チラルリングの構造およびモジュライ空間幾何学にどのように影響を与えるか。
• RQ4 ヒルベルト級数をバリオン的量子数を含めるように精製することは可能か。また、その精製はCalabi-Yau上のラインバンドの幾何学とどのように関係するか。
• RQ5 ドミアーモデルおよび完全一致は、ヒルベルト級数の計算およびモジュライ空間のトーリックデータの抽出にどのように寄与するか。

主な発見

• マスター空間は、$\mathcal{N}=1$クオーバーゲージ理論のすべてのF-termおよびD-term解をパラメトライズするトーリックCalabi-Yau多様体であり、メゾニクスモジュライ空間はシンプレクティック商として得られる。
• プレチスティック指数による単一トレース指数の合成を通じて計算された精製ヒルベルト級数は、メゾニクスBPSオペレーターのスピンとそのR荷およびフレーバー対称性量子数を完全に符号化している。
• コンパクトな場合、バリオン的生成関数はトーリック図の整数格子構造を用いて導出され、分配関数$ Z_{D,N} $は、適合3次元サイクル上でのBPS D3-brane状態を数える。
• 場理論におけるバリオン的荷は、Calabi-Yau上の幾何的除数に対応し、生成関数$ g_B(\nu; \text{CY}) $はBPSバリオン的オペレーターのスピンを符号化している。
• コンパクトな場合のチラルリング構造は、トーリック多様体の座標環と同型であり、ヒルベルト級数は完全一致を通じてオペレーターの全重複度を捉えている。
• 本手法は、サスペンデッドピンチドポイントや$\mathbb{F}_0$の錐といった非オービフォール特異点に対しても一般化可能であり、さまざまなトーリック幾何における強靭性を示している。