[論文レビュー] Matchings under Preferences: Strength of Stability and Trade-offs

Jiehua Chen, Piotr Skowron+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Game Theory and Voting Systems参考文献 35被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、好みの下でのマッチングに対する2つの定量的安定性概念—ロバスト性とニア安定性—を導入する。ロバスト性は、好みリストの交換が最大d回まで発生してもマッチングが安定したまま保たれるように、古典的安定性を強化するものである。一方、ニア安定性は、最大d回の交換後に安定性が回復するのを許容することで、安定性を緩和する。主な貢献は、社会的最適ロバストマッチングを求める多項式時間アルゴリズムの開発であり、一方で、最適ニア安定マッチングを求めるのは計算的に困難であることが示された。

ABSTRACT

We propose two solution concepts for matchings under preferences: robustness and near stability. The former strengthens while the latter relaxes the classic definition of stability by Gale and Shapley (1962). Informally speaking, robustness requires that a matching must be stable in the classic sense, even if the agents slightly change their preferences. Near stability, on the other hand, imposes that a matching must become stable (again, in the classic sense) provided the agents are willing to adjust their preferences a bit. Both of our concepts are quantitative; together they provide means for a fine-grained analysis of stability for matchings. Moreover, our concepts allow to explore the trade-offs between stability and other criteria of societal optimality, such as the egalitarian cost and the number of unmatched agents. We investigate the computational complexity of finding matchings that implement certain predefined trade-offs. We provide a polynomial-time algorithm that given agents' preferences returns a socially optimal robust matching, and we prove that finding a socially optimal and nearly stable matching is computationally hard.

研究の動機と目的

• 古典的安定性の限界、すなわち二値的でかつ好みの不確実性や微小な変化を反映しないことへの対処。
• 微小な好みの摂動に対しても安定性が保たれるように、ロバスト性を強化された安定性概念として提案すること。
• 微小な好みの調整の後、安定性が回復することを許容する、緩和された安定性概念としてニア安定性を導入すること。
• エゴイストコストや未マッチングエージェント数といった社会的最適基準と安定性の強さの間のトレードオフを分析すること。
• 安定性の強さと社会的最適性の両立を満たすマッチングを求める際の計算複雑性を調査すること。

提案手法

• d-ロバスト性の定義：マッチングが好みリスト内の任意のd回以内の交換に対しても安定のまま保たれる場合、それをd-ロバストと呼ぶ。
• 局所的d-ニア安定性の定義：各エージェントの好みリスト内で最大d回の交換が行われた後、マッチングが安定する場合、それを局所的d-ニア安定と呼ぶ。
• カーネル化を用いて問題サイズを縮小し、任意の安定マッチングにおけるマッチドエージェント数が、サイズが最大2n_mの問題カーネルを形成することを示した。
• 交換距離d_G以内のすべての可能な好みプロファイルに対して反復的列挙を実行し、安定かつ完全マッチングであるかを確認する。
• 社会的最適ロバストマッチングを求める問題が、専用アルゴリズムにより多項式時間で解けることを証明した。
• 社会的最適ニア安定マッチングを求める問題が、強い意味でもNP困難であり、パラメータ化複雑性の観点からも近似が困難であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小な好みの摂動に対して安定性が保たれるような、より強い安定性の概念を定義できるか？
• RQ2 微小な好みの調整の後に安定性が回復するのを許容するような、より弱い安定性の概念を定義できるか？
• RQ3 安定性が強く、かつ社会的最適であるマッチングを求める問題の計算複雑性は？
• RQ4 エゴイストコストや未マッチングエージェント数といった社会的最適指標と安定性の強さとの間には、どのようなトレードオフがあるか？
• RQ5 ニア安定性は、同順位がある場合や、安定ルームメイト問題のような非二部グラフ設定へ一般化可能か？

主な発見

• エゴイストコストなどの社会的基準を最適化する場合でさえ、社会的最適d-ロバストマッチングを求める多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 社会的最適かつ局所的d-ニア安定マッチングを求める問題は、強さの意味でも、パラメータ化複雑性の観点からも計算的に困難である。
• ニア安定マッチングを求める問題は、n_m（すべての安定マッチングでマッチングされるエージェント数）を用いて、サイズが最大2n_mの問題カーネルを有する。
• ニア安定性に用いたカーネル化アプローチは、エゴイストコストのケースには拡張できない。これは、最適エゴイスト安定マッチングにおいて未マッチングエージェントがマッチングに含まれる可能性があるためである。
• 同順位が導入された場合でもロバスト性は計算的に扱いやすいが、同順位下でのニア安定性の複雑性は、本稿では未解決のまま残されている。
• 本フレームワークは、入力プロファイルからの交換距離が制限されたモデルとして、既存の概念（加法的α安定性やr-最大安定性）を統一的に扱える。