[論文レビュー] Mathematical definition of quantum field theory on a manifold

A. V. Stoyanovsky|ArXiv.org|Oct 13, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正準交換関係と共変ハミルトニアン力学に基づき、擬リーマン多様体上での量子場理論（QFT）の厳密な数学的定義を提示する。ヒルベルト空間は空間的超曲面に割り当てられ、境界を持つ多様体を介して遷移振幅が定義され、プランク定数 h → 0 の極限で古典的ポincare括弧を再現する平坦接続を通じて量子化が実現され、平坦空間における標準的QFTと整合性を保つ。

ABSTRACT

We give a mathematical definition of quantum field theory on a manifold, and definition of quantization of a classical field theory given by a variational principle.

研究の動機と目的

• 一般の擬リーマン多様体上での量子場理論を数学的に厳密に定義し、ミンコフスキー空間における標準的QFTを拡張すること。
• 変分原理によって定義される古典場理論の形式的量子化を、正準交換関係と整合するように形式化すること。
• ヒルベルト bundle 上の平坦で可積分な接続を通じて、空間的超曲面間での量子状態の動的進化が幾何学的かつ共変的に記述されることを保証すること。
• 修正された平坦接続を用いて源とグリーン関数を統合し、摂動的計算を可能にすること。

提案手法

• 多様体 M 内の各コアーダー付き、閉じて、連結な空間的超曲面 C にヒルベルト空間 H_C を割り当てる。
• 非連結な曲面に対しては、有界なテンソル積を用い、H̄_C ⊗ H_C' を空間間の有界作用素と同一視する。
• 境界 ∂N = C を持つ多様体 N に対して遷移振幅 Ψ_N ∈ H_C を定義し、多様体の貼り合わせにおいて一貫性を保証する。
• ヒルベルト空間 H_C が正準交換関係の無限大のユニタリ表現として不可約であることを課し、量子構造を保証する。
• End(H_C) 上の平坦接続 ∇₁ を導出し、h → 0 の極限でポincare括弧を介した共変ハミルトニアン進化を再現する。
• 源に依存する平坦接続 ∇_j = ∇ + (1/ih)∫_C j(x(s)) φ̂(s) ds を導入し、グリーン関数の構成に適した平坦性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された背景時空に依存しない一般の擬リーマン多様体上での量子場理論を、どのように数学的に厳密に定義できるか？
• RQ2 空間的超曲面上のヒルベルト空間構造が、古典場理論の正準量子化と整合するための条件は何か？
• RQ3 異なる空間的断面間での量子状態の動的進化を、幾何的かつ共変的にどのように記述できるか？
• RQ4 提案された接続が、h → 0 の極限でどのように古典的ポincare括弧構造を再現するか？
• RQ5 グリーン関数の構成に不可欠な接続の平坦性を保ちながら、源を理論に一貫的に結合する方法は何か？

主な発見

• 空間的超曲面にユニタリヒルベルト空間が割り当てられ、非連結成分に対してはテンソル積構造が与えられ、位相的貼り合わせにおいて一貫性が保証される。
• 境界が C である多様体 N に対応する遷移振幅 Ψ_N は H_C の元であり、貼り合わせにおける合成が期待されるユニタリ進化を再現する。
• End(H_C) 上の平坦接続 ∇₁ は、h の O(h) 項まで古典的ハミルトニアン進化を再現し、量子補正項はハミルトニアン密度との交換子を含む。
• 接続 ∇₁ は h → 0 の極限で古典的ポincare括弧構造に還元され、対応原理が確認される。
• 源項を ∇_j を通じて含めることで平坦性が保たれ、標準的摂動的QFTと同様に時序相関関数が構成可能になる。
• すべての構造が G 不変性を持つことが保証され、一般相対性理論と整合するQFTの定式化に適している。