[論文レビュー] Mathematics and "The Trouble with Physics", How Deep We Have to Go ?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Jul 8, 2007

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 14被引用数 16

ひとこと要約

本論文は、理論物理学が、集合論や圏論などの現代数学の創造的自由性に深く関与することで、著しく利益を受ける可能性があると主張している。これは、『物理的』概念に対する古くからある制限的・歴史的枠組みに縛られるのでなく、数学的理論構築の本質的自由性を受容することで、新たな理論的枠組みを構築できるという点に拠る。非局所性や自己言及といった物理学の基礎的パラドックスは、デカルトの『広がりある実存』（res extensa）と『考えることの実存』（res cogitans）の両方を越えた第三の領域の必要性を示唆しており、『思考』自体が物理的である可能性があり、物理学者は数学がそうであるように、概念的革新を同じだけの厳密さと開放性をもって扱うべきだと提言している。

ABSTRACT

The parts contributed by the author in recent discussions with several physicists and mathematicians are reviewed, as they have been occasioned by the 2006 book "The Trouble with Physics", of Lee Smolin. Some of the issues addressed are the possible and not yet sufficiently explored relationship between modern Mathematics and theoretical Physics, as well as the way physicists may benefit from becoming more aware of what at present appear to be certain less than fortunate yet essential differences between modern Mathematics and theoretical Physics, as far as the significant freedom of introducing new fundamental concepts, structures and theories in the former is concerned. A number of modern mathematical concepts and structures are suggested for consideration by physicists, when dealing with foundational issues in present day theoretical Physics. Since here discussions with several persons are reviewed, certain issues may be brought up more than one time. For such repetitions the author ask for the kind understanding of the reader.

研究の動機と目的

• 理論物理学が、歴史的に限定的・条件づけられた意味での『物理的』概念に限定されるという仮定に挑戦すること。
• 集合論や圏論といった現代数学に内在する創造的自由性を活用することで、物理学者が根本的な新しい理論を構築できるようにすること。
• 量子非局所性や自己言及といった物理学のパラドックスが、古典的デカルト的二元論を超える概念的枠組みの必要性を示していることを強調すること。
• 『思考』や概念的構造が物理的である可能性を主張し、理論的探求の範囲を拡張するべきであると提言すること。

提案手法

• カントールの集合論やエイレンバーグ・マクレーンの圏論といった数学の発展と理論物理学との間の歴史的・概念的類似性を分析すること。
• 基礎的数学的革新の役割と、物理学における同様の飛躍的進歩の可能性との類似性を描くこと。
• 役者パラドックスやラッセルのパラドックスを検討し、基礎的物理学において、文とその解釈の区別が不可欠であることを示すこと。
• 量子もつれを想定した思考実験を通じて、『広がりある実存』（res extensa）でも『考えることの実存』（res cogitans）でもない、第三の領域が物理的に実現可能であると主張すること。
• 『情報は物理的である』という考えを拡張し、『思考は物理的である』というアイデアを導入することで、情報と思考の物理的性質を再解釈すること。
• 物理学者が、実証的対応による事前正当化なしに、新しい基本的概念を自由に導入する数学的思考様式を採用すべきだと提言すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カテゴリー理論や無限次元空間といった現代数学的構造は、理論物理学の基礎的理論をどのように豊かにできるか？
• RQ2 相対性理論に反しない非局所的量子相関をどのように説明できるか？ それは古典的時空や精神的認識の単独では説明できない。
• RQ3 量子測定や相対性理論に見られる自己言及的・パラドキス的構造は、文と解釈の区別を明確にすることで、どの程度まで解消可能か？
• RQ4 なぜ物理学は、現代数学におけるそれと同等の概念的革新を歴史的に避け続けてきたのか？ その回避の結果として生じた影響は何か？
• RQ5 思考というプロセスが物理的であるとすれば、それは包括的な物理理論において正当かつ不可欠な要素であると考えられるか？

主な発見

• 物理学において『物理的』という用語に明確で包括的な定義がないことは欠陥ではなく、むしろ物理学が新しい概念的領域へと継続的に拡張できるようにする特徴である。
• 歴史的に見ると、複素数や無限次元空間といった多くの数学的概念が物理学の基礎的役割を果たしてきた。これは、『物理的』概念が、経験的・幾何的直感に限定されないことを示している。
• カントールの集合論やエイレンバーグ・マクレーンの圏論が示すように、新しい数学的理論を自由に導入する自由は、現代数学に特有のものであり、物理学における概念的革新のモデルとなる。
• 量子非局所性は、即時的な遠方系の知識が『広がりある実存』（res extensa）でも『考えることの実存』（res cogitans）でもなく、まだ定義されていない第三の領域に物理的に実現されている可能性を示唆している。これは、古典的形而上学的二元論に挑戦するものである。
• 役者パラドックスやその現代的変種は、文とその解釈の根本的区別を明らかにし、基礎的物理学において不整合を避けるためには、この区別を尊重する必要があることを示している。
• 物理学は、自己言及的問題や概念的構造の問題を避けている、パラドックス的でない集合論の初期段階に似た『未熟』な段階にあるのかもしれない。