[論文レビュー] $\mathrm{FI}_G$-modules, orbit configuration spaces, and complex reflection groups

Kevin Casto|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限群およびバーチャル多可解群 $G$ に対して $\mathrm{FI}_G$-加群の理論を展開し、軌道配置空間、Fouxe-Rabinovitch 群、および他の $W_n = G^n \rtimes S_n$-加群におけるコホモロジーおよびホモトピー群の表現安定性について、特徴多項式と $K_0$-安定性を確立する。これらの表現の特徴は普遍的多項式に従い、次元は多項式的に安定化することを示し、Church-Ellenberg-Farb や Wilson の研究を複素反射群および無限群へと拡張する。

ABSTRACT

The category $\mathrm{FI}_G$ was first defined and explored by Sam-Snowden. Here, we develop more of the machinery of $\mathrm{FI}_G$-modules and find numerous examples to apply it to, extending the work of Church-Ellenberg-Farb and Wilson. In particular we develop a notion of character polynomials for $\mathrm{FI}_G$-modules with $G$ finite, a notion of representation stability which we call $K_0$-stability even when $G$ is infinite virtually polycyclic, and apply the notion of finite presentation degree when $G$ is a general infinite group. We use this to analyze numerous families of $(G^n times S_n)$-modules, such as: -the cohomology and homotopy groups of orbit configuration spaces -the diagonal coinvariant algebra of complex reflection groups -the homology of affine pure braid groups of type $\widetilde{A}_n$ and $\widetilde{C}_n$ -the cohomology of Fouxe-Rabinowitsch groups and many more examples.

研究の動機と目的

• 有限群を超えてバーチャル多可解群および無限群へ $\mathrm{FI}_G$-加群の理論を拡張すること。
• $G$ が無限だがバーチャル多可解群であるとき、$W_n = G^n \rtimes S_n$-加群に対して $K_0$-安定性の形での表現安定性を確立すること。
• 軌道配置空間および Fouxe-Rabinovitch 群のコホモロジーおよびホモトピー群に対する明示的な特徴多項式を提供すること。
• 単連結でない多様体および一般化されたブレード群における表現安定性に関する未解決問題を解決すること。
• コホモロジーの有限生成性と、$G$ が有限型コホモロジーを持つ場合の Fouxe-Rabinovitch 群 $\operatorname{FR}(G^{*n})$ における安定性を示すこと。

提案手法

• 無限群に対する表現安定性の一般化として $K_0$-安定性を導入し、群環のグロテンディーク群を用いる。
• 軌道配置空間、ブレード群、$\operatorname{FR}(G^{*n})$ のコホモロジーから生じる $W_n$-表現の系列に $\mathrm{FI}_G$-加群の道具立てを適用する。
• 同型 $H^*(\operatorname{FR}(G^{*n})) \cong H^*((G^{*n})^{n-1})$ を用いて、コホモロジーを $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-代数として実現する。
• $\widetilde{H}^*(G)^{\oplus n(n-1)}$ に明示的な $\mathrm{FI}_G$-加群構造を構成し、有限生成性と次数の上限を示す。
• Sam-Snowden や Gan-Li のノエター性および有限提示次数に関する結果を $\mathrm{FI}_G$-加群に適用する。
• $\mathrm{FI}_G$-準同型がコホモロジー類に作用する仕組みを用いて特徴多項式を導出し、$n$ における多項式性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K_0$-安定性を用いて、表現安定性を有限群を超えて無限のバーチャル多可解群へ一般化できるか？
• RQ2 $G$ が有限またはバーチャル多可解群であるとき、軌道配置空間 $\operatorname{Conf}_n^G(M)$ のコホモロジーおよびホモトピー群は特徴多項式的性質を示すか？
• RQ3 $H^*(G;\mathbb{Q})$ が有限型であるとき、Fouxe-Rabinovitch 群 $\operatorname{FR}(G^{*n})$ のコホモロジーは、有限型の $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-代数か？
• RQ4 Wilson が $\mathrm{FI}_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$-代数に対して得た結果を、一般の $G$ に対する $\mathrm{FI}_G$-加群へ拡張できるか？
• RQ5 $H^1(P(d,n);\mathbb{C})$ のような系列における多重度および次元の正確な安定化範囲は何か？

主な発見

• $G = \mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ のとき、コホモロジー $H^1(P(d,n);\mathbb{C})$ は $L((n)_{\chi_0}) \oplus L((n-1,1)_{\chi_0}) \oplus \bigoplus_{\chi \in \operatorname{Irr}(G)} L((n-2)_{\chi_0},(2)_{\chi})$ に分解され、$n \geq 2$ で安定化を開始する。
• $G$ が有限型コホモロジーを持ち $\operatorname{Out}(G)$ が有限であるとき、$H^i(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{C})$ の特徴はすべての $n$ に対して次数 $2i$ の単一の特徴多項式で与えられる。
• $G$ が有限のとき、系列 1–6 における各既約 $W_n$-表現の多重度は最終的に $n$ に依存せず、$\dim V_n$ は最終的に $n$ における多項式になる。
• $H^*(G;\mathbb{Q})$ が有限型であるとき、コホモロジー $H^*(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{Q})$ は有限型の $\mathrm{FI}_{\operatorname{Out}(G)}\sharp$-代数である。
• $G$ がバーチャル多可解群であるとき、$H_i(\operatorname{Conf}_n^G(M);\mathbb{Q})$ および $H_i(P_{\widetilde{A}_{n-1}};\mathbb{Q})$ の $K_0$-安定性は、$G$ が無限であっても成り立つ。
• $G = \mathbb{Z}$ のとき、コホモロジー $H^1(\operatorname{FR}(G^{*n});\mathbb{Q})$ の次元は $n(n-1)\cdot \dim H^1(G;\mathbb{Q})$ であり、$\operatorname{Out}(G) \wr S_n$-表現は $K_0$-意味で安定化する。