[論文レビュー] Matrix-based approach to electrodynamics in media

A. A. Bogush, В. М. Редьков+2 more|ArXiv.org|Aug 5, 2008

Geophysics and Sensor Technology参考文献 60被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素3ベクトル場とSO(3,C)複素回転群を用いて、媒質内におけるマクスウェルの電磁力学を行列形式で定式化し、4×4行列αᵇおよびβᵇを通じてローレンツ対称性を示す。任意の線形媒質におけるマクスウェル方程式の統一的行列形式を確立し、ディラック行列と関連づけ、エスポジートの表現が自明な恒等式から生じることを示し、移動座標系におけるその基本的役割を疑問視する。

ABSTRACT

The Riemann -- Silberstein -- Majorana -- Oppenheimer approach to the Maxwell electrodynamics in presence of electrical sources and arbitrary media is investigated within the matrix formalism. The symmetry of the matrix Maxwell equation under transformations of the complex rotation group SO(3.C) is demonstrated explicitly. In vacuum case, the matrix form includes four real $4 imes 4$ matrices $α^{b}$. In presence of media matrix form requires two sets of $4 imes 4$ matrices, $α^{b}$ and $β^{b}$ -- simple and symmetrical realization of which is given. Relation of $α^{b}$ and $β^{b}$ to the Dirac matrices in spinor basis is found. Minkowski constitutive relations in case of any linear media are given in a short algebraic form based on the use of complex 3-vector fields and complex orthogonal rotations from SO(3.C) group. The matrix complex formulation in the Esposito's form,based on the use of two electromagnetic 4-vectors, $e^α(x) = u_β F^{αβ}(x), b^α (x) = u_β ilde{F}^{αβ}(x) $ is studied and discussed. It is argued that Esposito form is achieved trough the use of a trivial identity $I=U^{-1}(u)U(u)$ in the Maxwell equation.

研究の動機と目的

• 複素3ベクトルとSO(3,C)対称性に基づく行列形式を用いて、線形媒質内におけるマクスウェルの電磁力学を再定式化すること。
• SO(3,C)における明示的変換性を用いて、行列形式マクスウェル方程式のローレンツ不変性を示すこと。
• 媒質に対してαᵇおよびβᵇ行列の単純かつ対称的な実現を与えるとともに、それらをディラック行列と関連付けること。
• リーマン–シルベスタイン–マジョラナ–オッペンハイマー形式とエスポジートの行列表現との関係を明確にすること。
• エスポジートの形式が移動座標系における基本的マクスウェル方程式を表すという主張を反駁し、それが自明な恒等式から生じることを示すこと。

提案手法

• 電場と磁場を1つの複素エンティティに統合するため、複素3ベクトルψᵏ = Eᵏ + icBᵏを導入する。
• 4×4行列αᵇおよびβᵇを用いてマクスウェル方程式の行列形式を導出する。αᵇは真空中、βᵇは媒質中で使用される。
• Ψが複素場と電流を組み合わせた4成分ベクトルであるとき、行列方程式(−iα⁰∂₀ + αʲ∂ⱼ)Ψ = J/ε₀を確立する。
• 恒等式I = U⁻¹(u)U(u)を用いて、標準的な行列形式からエスポジートの形式を導出し、等価性を示す。
• 変換行列βを介して、行列αᵇおよびβᵇをディラック行列と関連づけ、スピンター形式の代数的取り扱いを可能にする。
• Minkowskiの構成関係を、SO(3,C)からの複素直交回転を用いた簡潔な代数的表現で記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形媒質内におけるマクスウェル方程式を、複素3ベクトル場を用いた統一的行列形式でどのように表現できるか？
• RQ2 SO(3,C)複素回転群は、行列形式におけるローレンツ対称性を保つ役割を果たすか？
• RQ3 スピンター基底において、行列αᵇおよびβᵇはディラック行列とどのように関係するか？
• RQ4 移動座標系の文脈において、エスポジートの行列表現の数学的・物理的意義は何か？
• RQ5 エスポジートの形式は、より深い物理法則を表しているのか、それとも標準的な行列マクスウェル方程式の自明な再パrameter化に過ぎないのか？

主な発見

• 真空中のマクスウェル方程式の行列形式は、SO(3,C)変換に対して明示的に不変であり、ローレンツ対称性が確認される。
• αᵇおよびβᵇ行列の単純かつ対称的な実現が提供され、βᵇは媒質において不可欠であり、βを介してディラック行列と関連づけられる。
• リーマン–シルベスタイン–マジョラナ–オッペンハイマー形式がαᵇを用いた行列枠組みに埋め込まれ、光子に対するディラック型方程式が得られる。
• 恒等式I = U⁻¹(u)U(u)を用いて、エスポジートの表現が標準的な行列形式と等価であることが示され、物理的新しい内容はない。
• Minkowskiの構成関係が、複素3ベクトルとSO(3,C)回転を用いた簡潔な代数的表現で記述される。
• エスポジートの形式が移動座標系において基本的であるという主張は反証され、それは自明な恒等式から生じており、別個の物理法則を表すものではない。