[論文レビュー] Matrix Quantum Mechanics and Two-dimensional String Theory in Non-trivial Backgrounds

Sergey Alexandrov|ArXiv.org|Nov 28, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 110被引用数 34

ひとこと要約

本学位論文は、線形ダイラトン背景を超えて、曲がった時空に伴うダイラトン的ブラックホールを含む非自明な背景における2次元素因数理論を記述するため、行列量子力学（MQM）を拡張する。摂動をToda格子階層を用いて組み込むことで、可積分性が保たれ、線形ダイラトンの場合を超える相関関数、熱力学的性質、および標的空間構造の正確な計算が可能になる。

ABSTRACT

String theory is the most promising candidate for the theory unifying all interactions including gravity. It has an extremely difficult dynamics. Therefore, it is useful to study some its simplifications. One of them is non-critical string theory which can be defined in low dimensions. A particular interesting case is 2D string theory. On the one hand, it has a very rich structure and, on the other hand, it is solvable. A complete solution of 2D string theory in the simplest linear dilaton background was obtained using its representation as Matrix Quantum Mechanics. This matrix model provides a very powerful technique and reveals the integrability hidden in the usual CFT formulation. This thesis extends the matrix model description of 2D string theory to non-trivial backgrounds. We show how perturbations changing the background are incorporated into Matrix Quantum Mechanics. The perturbations are integrable and governed by Toda Lattice hierarchy. This integrability is used to extract various information about the perturbed system: correlation functions, thermodynamical behaviour, structure of the target space. The results concerning these and some other issues, like non-perturbative effects in non-critical string theory, are presented in the thesis.

研究の動機と目的

• 行列量子力学（MQM）を線形ダイラトン背景を超えて、曲がった非自明な時空における2次元素因数理論を記述できるように一般化すること。
• ダイラトン的ブラックホールを生じるような背景幾何の摂動が、行列モデル枠組み内でどのように符号化されるかを理解すること。
• Toda格子階層を用いた可積分性の確立と、物理的観測量の抽出。
• MQM技術を用いて、摂動を受けた2次元素因数理論の熱力学的挙動と標的空間構造を調査すること。
• 行列モデル形式を用いて、非臨界素因数理論における非摂動的効果を調査すること。

提案手法

• 時間に依存するエルミート行列の経路積分として行列量子力学（MQM）を定式化し、時間に依存するポテンシャル $ V(M(t)) $ を用いて、$ N^2 $ 個の自由度を持つ量子力学を記述する。
• 鞍点近似と固有値還元を用い、行列積分を1次元量子系に写像し、直交多項式およびフェルミオン表現を用いた解析を可能にする。
• 2行列モデル（2MM）の分配関数をToda格子階層の $ \tau $-関数として特定し、Lax形式およびHirotaの双線形方程式を活用する。
• ポテンシャルの変形を介して背景への摂動を導入し、それがToda階層に従うことが示され、可積分性が保たれる。
• Lax作用素の間の関係 $[L, \bar{L}] = \hbar$ を示すストリング方程式を導出し、相関関数の再帰的計算を可能にする重要な制約条件とする。
• Toda階層の分散なし極限を適用し、微分方程式を簡略化し、$ t_1 t_{-1} $ のような結合定数に依存する正確な結果を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして行列量子力学を、ダイラトン的ブラックホールを含む非自明で曲がった背景における2次元素因数理論を記述できるように一般化できるか？
• RQ2 Toda格子階層は、行列モデル枠組み内で背景幾何を変化させる摂動をどのように符号化するか？
• RQ3 摂動系の可積分性は、相関関数および熱力学的量の正確な計算をどのように可能にするか？
• RQ4 摂動を受けた2次元素因数理論の標的空間構造は何か？ また、それはどのように行列モデルに符号化されるか？
• RQ5 行列モデルによる非臨界素因数理論の記述において、どのような非摂動的効果が現れ、それらはどのように捉えられるか？

主な発見

• 2次元素因数理論における背景幾何を変化させる摂動は、Toda格子階層を介して行列量子力学に組み込まれ、可積分性が保たれる。
• 2行列モデルの分配関数はToda階層の $ \tau $-関数として特定され、Hirota方程式を用いて相関関数の正確な計算が可能になる。
• ストリング方程式 $[L, \bar{L}] = \hbar$ が基本的制約として出現し、初期条件の代わりに機能し、階層内の微分方程式の次数を低下させる。
• Toda階層の分散なし極限により、系が偏微分方程式、あるいは特に分配関数が $ t_1 t_{-1} $ のみに依存する場合には常微分方程式に簡略化される。
• この枠組みにより、線形ダイラトンの場合を超える正確な相関関数および熱力学的挙動の計算が成功裏に達成された。
• 摂動を受けた2次元素因数理論の標的空間構造は、行列モデルの可積分構造を通じて明らかになり、離散状態や巻き付きモードが含まれる。