[論文レビュー] Maximal ratio of coefficients of divisors and an upper bound for height for rational maps

ChongGyu Lee|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、数体上に定義された有理写像 $ f: \bb{P}^n \to \bb{P}^n $ に対して、特異点が超平面 $ H $ に含まれる場合の D-比 $ r(f) $ を導入し、自己準同型写像のための Northcott の定理を一般化する高さ不等式を確立する。主な結果は、D-比が反復写像における点の高さの上界を保証できることで、特異点が存在する場合でも有効であり、ヘノン写像のような特定の有理写像に対して canonical 高さ関数の存在を保証することにある。

ABSTRACT

When we have a morphism f : P^n -> P^n, then we have an inequality \frac{1}{°f} h(f(P)) +C > h(P) which provides a good upper bound of $h(P)$. However, if $f$ is a rational map, then \frac{1}{°f} h(f(P))+C cannot be an upper bound of h(P). In this paper, we will define the $D$-ratio of a rational map $f$ which will replace the degree of a morphism in the height inequality of h(P).

研究の動機と目的

• 特異点をもつ有理写像への canonical 高さ理論の拡張を、新たな不変量である D-比を導入することで実現すること。
• 非自己準同型写像に対する Northcott の定理の失敗を補うために、弱いが有用な高さ不等式を確立すること。
• ヘノン写像のような有理写像に対して canonical 高さ関数が存在するための十分条件を提供すること。
• 特異点の解消を用いて、自己準同型写像における次数に基づく高さ比較を有理写像へ一般化すること。
• D-比を用いて反復写像における高さの漸近的成長を分析し、力学的次数および canonical 高さとの関係を明らかにすること。

提案手法

• 有理写像 $ f $ の特異点の解消に伴う双有理な写像 $ \tilde{f} = f \circ \rho $ を用い、超平面の引き戻しにおける係数の最大比として D-比 $ r(f) $ を定義する。
• 解体された多様体 $ V $ 上での Weil の高さマシンを用い、$ \tilde{f}^*H $ と $ \rho^*H $ を比較し、全変換と特異点 divisor の線形結合を得る。
• すべての $ P \in \bb{P}^n(\overline{K}) \setminus H $ に対して、$ \frac{r(f)}{\deg f} h(f(P)) + C > h(P) $ という高さ不等式を導出する。ここで $ C $ は $ f $ のみに依存する定数である。
• 特異点の存在領域が互いに素である二つの可換な有理写像 $ f_1, f_2 $ に対して、連立高さ不等式 $ \frac{1}{\deg f_1} h(f_1(P)) + \frac{1}{\deg f_2} h(f_2(P)) + C' > \left(1 + \min_l \frac{1}{r(f_l)} \right) h(P) $ を確立する。
• D-比を力学的次数 $ \deg f $、canonical な次数 $ c(f) $、および最大成長率 $ \mu(f) $ と関係づけ、$ \mu(f) \geq c(f) \geq \frac{\deg f}{r(f)} $ を示す。
• ヘノン写像や曲線が点に写される有理写像といった例に理論を適用し、後者の場合に $ r(f) = \infty $ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点をもつ有理写像、たとえばヘノン写像に対して canonical 高さ関数を定義することは可能か？
• RQ2 自己準同型写像でない有理写像の高さ比較において、次数を一般化する不変量は何か？
• RQ3 D-比は、有理写像の反復写像における高さの漸近的挙動をどのように制御するか？
• RQ4 どのような条件下で、有理写像が $ h(f(P)) $ に対して $ h(P) $ の Northcott 型上界を満たすか？
• RQ5 D-比、力学的次数、および有理写像の canonical な次数 $ c(f) $ の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• D-比 $ r(f) $ は特異点の解消を用いて定義され、$ r(f) \geq 1 $ を満たし、等号が成り立つのは $ f $ が自己準同型写像である場合に限る。
• 特異点が超平面 $ H $ に含まれる任意の有理写像 $ f $ に対して、定数 $ C $ が存在し、すべての $ P \in \bb{P}^n(\overline{K}) \setminus H $ に対して $ \frac{r(f)}{\deg f} h(f(P)) + C > h(P) $ が成り立つ。
• 特異点の存在領域が互いに素である二つの有理写像 $ f_1, f_2 $ に対して、連立高さ不等式 $ \frac{1}{\deg f_1} h(f_1(P)) + \frac{1}{\deg f_2} h(f_2(P)) + C' > \left(1 + \min_l \frac{1}{r(f_l)} \right) h(P) $ が成り立つ。
• canonical な次数 $ c(f) $ に対して $ c(f) \geq \frac{\deg f}{r(f)} $ が成り立ち、写像が像上で一般に有限である場合に等号が成立する。
• 曲線 $ C \subset \bb{A}^n $ が $ f $ によって一点に写される場合、$ r(f) = \infty $ であり、これは高さ不等式が $ h(P) $ の上界を保証しないことを意味する。
• ヘノン写像 $ g $ に対して、ペア $ (g, g^{-1}) $ は定理 B の仮定を満たすため、canonical 高さが存在し、これは自己準同型写像の場合の一般化である。