[論文レビュー] Maximizing Non-monotone/Non-submodular Functions by Multi-objective Evolutionary Algorithms.

Chao Qian, Yang Yu+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2017

Metaheuristic Optimization Algorithms Research参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非単調かつ非下位モジュラーな目的関数を最大化するための多目的進化計算（EA）の理論的分析を提案し、GSEMOアルゴリズムが2つの一般的な問題クラスにおいて多項式期待実行時間で良好な近似保証を達成することを示している。その2つのクラスとは、制約なしの非単調下位モジュラー最大化と、サイズ制約下での単調非下位モジュラー最大化である。

ABSTRACT

Evolutionary algorithms (EAs) are a kind of nature-inspired general-purpose optimization algorithm, and have shown empirically good performance in solving various real-word optimization problems. However, due to the highly randomized and complex behavior, the theoretical analysis of EAs is difficult and is an ongoing challenge, which has attracted a lot of research attentions. During the last two decades, promising results on the running time analysis (one essential theoretical aspect) of EAs have been obtained, while most of them focused on isolated combinatorial optimization problems, which do not reflect the general-purpose nature of EAs. To provide a general theoretical explanation of the behavior of EAs, it is desirable to study the performance of EAs on a general class of combinatorial optimization problems. To the best of our knowledge, this direction has been rarely touched and the only known result is the provably good approximation guarantees of EAs for the problem class of maximizing monotone submodular set functions with matroid constraints, which includes many NP-hard combinatorial optimization problems. The aim of this work is to contribute to this line of research. As many combinatorial optimization problems also involve non-monotone or non-submodular objective functions, we consider these two general problem classes, maximizing non-monotone submodular functions without constraints and maximizing monotone non-submodular functions with a size constraint. We prove that a simple multi-objective EA called GSEMO can generally achieve good approximation guarantees in polynomial expected running time.

研究の動機と目的

• 個別の問題にとどまらない、進化計算の挙動を一般化した理論的説明を提供すること。
• 組合せ最適化における非単調かつ非下位モジュラーな目的関数の理論的分析の空白を埋めること。
• マトロイド制約付きの単調下位モジュラー関数に関する既存の結果を、より広範な関数クラスへと拡張すること。
• 一般問題クラスにおける多目的EAの、証明可能な良好な近似性能を確立すること。

提案手法

• 本研究は、組合せ最適化のための単純な多目的進化計算であるGSEMOアルゴリズムの分析に焦点を当てる。
• 2つの問題クラスに注目する：非単調下位モジュラー関数の制約なし最大化と、サイズ制約下での単調非下位モジュラー関数の最大化。
• GSEMOの期待実行時間と近似品質を評価するために理論的分析を実施する。
• 下位モジュラリティと非下位モジュラリティの性質を活用して、アルゴリズムの収束行動を評価する。
• 良好な近似比を達成するための多項式期待実行時間を確立する。
• 確率過程の分析と探索空間における期待進捗推定に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約なしの非単調下位モジュラー最大化において、多目的EAは良好な近似保証を達成できるか？
• RQ2 サイズ制約下での単調非下位モジュラー関数において、EAは証明可能な性能境界を提供できるか？
• RQ3 これらの一般的な関数クラスにおいて、GSEMOの期待実行時間はどのようにスケーリングするか？
• RQ4 非下位モジュラー問題におけるEAの経験的成功の背後にある理論的根拠は何か？
• RQ5 単調下位モジュラー関数に対する理論枠組みを、非単調および非下位モジュラー状況へと拡張できるか？

主な発見

• GSEMOアルゴリズムは、非単調下位モジュラー関数の制約なし最大化において、多項式期待実行時間で良好な近似保証を達成する。
• サイズ制約下での単調非下位モジュラー関数においても、GSEMOは多項式期待時間内に良好な近似比を達成する。
• 理論的分析により、EAが単調下位モジュラー問題を越えて証明可能な有効性を示すことが確認された。
• 結果として、EAの理論的理解の範囲が非単調および非下位モジュラー目的関数へと拡張された。
• 本研究は、これらの2つの一般的な問題クラスについて、EAの理論的結果として初めて知られている。
• 研究結果は、EAがより広範な組合せ最適化問題において理論的にも有効であることを示しており、その汎用性を支持する。