[論文レビュー] Mazur manifolds and corks with small shadow complexities

Hironobu Naoe|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、トゥラエフのシャドウ理論と収縮可能な特別な多面体を用いて、シャドウ複雑性1の無限に多くのマズール多様体およびコルクを構成する。アバナコと別の1頂点多面体、およびピンクの家を分析することで、これらのシャドウから得られる特定の4次元多様体がマズール型であり、境界上の対合を介して非自明なコルクを備えていることを証明し、アクブリュトの $W^/pm(l,k)$ のような既知の例を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we find infinitely many Mazur type manifolds and corks with shadow complexity one among the 4-manifolds constructed from contractible special polyhedra having one true vertex by using the notion of Turaev's shadow. We also find such manifolds among 4-manifolds constructed from Bing's house. Our manifolds with shadow complexity one contain the Mazur manifolds $W^{\pm }(l,k)$ which were studied by Akbulut and Kirby.

研究の動機と目的

• シャドウ複雑性が最小となる4次元多様体を分類・構成すること。特に複雑性1に焦点を当てる。
• 収縮可能な特別な多面体から導かれる4次元多様体の中から、新しいマズール多様体およびコルクの例を同定すること。
• シャドウ複雑性1のコルクを同定することで、既知の異種4次元多様体の構成を拡張すること。
• 1つまたは2つの真の頂点を持つ多面体から、トゥラエフの再構成法を用いてコルクを体系的に生成する方法を提供すること。

提案手法

• 1つまたは2つの真の頂点と割り当てられたグリームを持つ特別な多面体から、トゥラエフのシャドウ理論を用いて4次元多様体を再構成する。
• キーバー計算を適用してシャドウ図をキーバー図に翻訳し、ハンドル分解を分析する。
• 境界となる3次元多様体のカッシン・インバリアントを計算することで、構成された4次元多様体の位相的型を区別する。
• エリャシバーグの基準を用いて、4次元多様体にステイン構造があることを確認し、非微分同相なコルクを検出する。
• 4次元多様体の境界に自己同型を構成し、それが内部に滑らかに拡張されないことを証明することで、コルク構造を確認する。
• 境界の傾き長さと双曲的構造を分析することで、収縮性およびマズール型の性質を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1頂点特別多面体から得られるどの4次元多様体がマズール型か？
• RQ2 収縮可能なシャドウから、シャドウ複雑性1のコルクを体系的に構成できるか？
• RQ3 多様体 $A(m,n)$ と $\tilde{A}(m,n-1/2)$ は、無限に多くの同相でないマズール型4次元多様体を生成するか？
• RQ4 ピンクの家を用いて、シャドウ複雑性2の新しいコルクおよびマズール多様体を構成できるか？
• RQ5 シャドウから得られる4次元多様体がコルクであるための gleam の条件は何か？

主な発見

• 整数 $m,n$ をパrameterとする、アバナコ $A$ と別の1頂点多面体 $\tilde{A}$ から、無限に多くのマズール型4次元多様体が得られる。
• $m \neq 0$ のとき、多様体 $A(m,n)$ はマズール型であり、$m = m'$ でない限り $A(m,n)$ と $A(m',n')$ は同相でない。
• $m \neq 0$ のとき、多様体 $\tilde{A}(m,n-1/2)$ はマズール型であり、$m = m'$ でない限り $\tilde{A}(m,n-1/2)$ と $\tilde{A}(m',n'-1/2)$ は同相でない。
• $m < 0$ のとき、ペア $(\tilde{A}(m,-3/2), \tilde{f}_m)$ はコルクをなす。ここで $\tilde{f}_m$ は境界上の対合であり、内部に滑らかに拡張されない。
• $|m| \geq 3$ かつ $|n| \geq 3$ のとき、ピンクの家から得られる4次元多様体 $B(l,m,n)$ はマズール型であり、$m,n < 0$ のとき $(B(0,m,n), f_{(m,n)})$ はコルクをなす。
• 4次元多様体 $B(0,-1,-1)$ は $\overline{W}_1$ と微分同相であり、これはアクブリュトとヤスイの研究で知られているコルクである。