[論文レビュー] McKean-Vlasov equations on infinite-dimensional Hilbert spaces with irregular drift and additive fractional noise

Martin Bauer, Thilo Meyer‐Brandis|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、不規則な勾配と加法的円柱型分数 Browm運動ノイズを伴う無限次元ヒルベルト空間上での McKean-Vlasov 方程式に対して、弱解および強解の存在と一意性を確立する。Hurst パrameter が (0,1) 内にある分数ノイズのもとで、可測かつ有界な勾配で、法則変数に関して連続な場合に弱解の存在を証明し、勾配およびノイズパrameter に対して追加の Hölder 型連続性と正則性条件を課すことにより、経路ごとの一意性および Malliavin 微分可能性を導出する。

ABSTRACT

This paper establishes results on the existence and uniqueness of solutions to McKean-Vlasov equations, also called mean-field stochastic differential equations, in an infinite-dimensional Hilbert space setting with irregular drift. Here, McKean-Vlasov equations with additive noise are considered where the driving noise is cylindrical (fractional) Brownian motion. The existence and uniqueness of weak solutions are established for drift coefficients that are merely measurable, bounded, and continuous in the law variable. In particular, the drift coefficient is allowed to be singular in the spatial variable. Further, we discuss existence of a pathwisely unique strong solution as well as Malliavin differentiability.

研究の動機と目的

• 有限次元の McKean-Vlasov 方程式を、加法的円柱型分数 Browm 運動ノイズを伴う無限次元ヒルベルト空間へ拡張すること。
• 可測かつ有界な勾配で、法則変数に関して連続な最小限の正則性仮定のもとで、弱解の存在と一意性を確立すること。
• 弱解が経路ごとの一意な強解および Malliavin 微分可能解にどのようになるかを検討すること。
• Hurst パrameter $ H \in (0,1) $ の違いが解の性質に与える影響を分析し、特に $ H < 1/2 $、$ H = 1/2 $、$ H > 1/2 $ の領域を区別すること。
• 解の強解の存在と一意性の十分条件を、法則に依存するランダム係数をもつ関連する確率微分方程式への還元によって提示すること。

提案手法

• 無限次元 McKean-Vlasov 方程式を $ X_t = x + \int_0^t b(s,X_s,\mathbb{P}_{X_s})ds + \mathbb{B}_t $ として定式化し、$ \mathbb{B}_t $ は独立な成分 $ B_t^{H_k} $ をもつ円柱型分数 Browm 運動とする。
• Girsanov の定理と Schauder の不動点定理を用いて、法則変数に関する勾配の有界性および連続性仮定のもとで弱解の存在を証明する。
• Krylov の手法に基づく局所化および近似技術を用いて、特異的または不連続な空間的依存性をもつ不規則な勾配を扱う。
• 解の法則に依存する勾配構造を活用し、関連する確率微分方程式に還元することにより、経路ごとの一意性を確立する。
• 分数階微積分および分数 Browm 運動の局所的非決定性推定を用いてノイズの正則性を制御し、勾配の可積分性条件を導出する。
• 強解の存在と Malliavin 微分可能性を組み合わせることで、解の Malliavin 微分可能性を導出する。非退化性と勾配の Hölder 連続性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不規則な勾配と加法的分数ノイズを伴う無限次元ヒルベルト空間上での McKean-Vlasov 方程式に対して、弱解が存在する条件は何か？
• RQ2 この無限次元的・分数ノイズ設定下で、弱解が経路ごとの一意な強解にどのようになるか？
• RQ3 解の Malliavin 微分可能性を保証するための、空間、時間、法則に関する勾配係数の正則性条件は何か？
• RQ4 Hurst パrameter $ H_k \in (0,1) $ の違いが解の存在および一意性に与える影響は何か。特に、$ H < 1/2 $ と $ H > 1/2 $ の領域を区別して説明できるか？
• RQ5 McKean-Vlasov 方程式の解は、解の法則に依存するランダム係数をもつ標準的 SDE への還元によって強解として表現可能か？

主な発見

• 可測かつ有界で、Kantorovich-Rubinstein 距離に関して法則変数について連続な勾配 $ b $ をもつ無限次元 McKean-Vlasov 方程式に対して、弱解が存在する。
• $ k \in I_+ $（すなわち $ H_k > 1/2 $）の場合、勾配の射影 $ b_k $ は時間、空間、法則変数に関して正の指数 $ \gamma_k, \alpha_k, \beta_k $ をもつ Hölder 型連続性条件を満たす必要がある。
• 関連するランダム係数をもつ SDE が一意な強解をもつ場合、条件 $ \sup_{k \in I_+} H_k < 1 $ および適切なリプシッツ型条件（20）を満たす限り、経路ごとの一意性および強解の存在が保証される。
• 勾配およびノイズに追加の可積分性および正則性条件が満たされれば、Malliavin 微分可能な一意な強解が存在する。特に $ I_0 \cup I_+ = \emptyset $、$ \sum_{k \in I_-} H_k < 1/6 $、$ \sup_{k \in I_-} H_k < 1/12 $ であり、かつ勾配およびノイズ係数が $ \ell^1 $-和分可能である場合に成立する。
• 勾配が Hölder 型条件を満たし、$ \sup_{k \in I_+} H_k < 1 $ であれば、解は法則において一意である。これは関連する SDE が一意な強解をもつことを保証する。
• 1次元の場合、$ H > 1/2 $ で勾配が Hölder 条件 $ \gamma > H - 1/2 $、$ \alpha > 2H - 1 $、$ \beta > H - 1/2 $ を満たすか、$ H \leq 1/2 $ で勾配が一様な意味で法則変数に関して連続であれば、強解が存在する。