[論文レビュー] Mean value theorems for the double zeta-function

Kohji Matsumoto, Hirofumi Tsumura|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2012

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ひとこと要約

本稿は、s の虚部 t に関するオイラー二重ゼータ関数 ζ₂(s₀, s) の漸近的平均平方公式を、収束領域のさまざまな条件下で確立する。精密な誤差項を導出し、リーマンゼータ関数の古典的平均平方結果の二重版に相当する Lindelöf 予想の二重アナログを提唱する。これは、ℜs₀ > 1/2、ℜs > 1/2、かつ s₀ + s ≠ 2 のとき、ζ₂(s₀, s) がゆっくりと増加する（O(t^ε)）ものと想定しており、古典的な平均平方結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We prove asymptotic formulas for mean square values of the Euler double zeta-function $ζ_2(s_0,s)$, with respect to $\Im s$. Those formulas enable us to propose a double analogue of the Lindel{ö}f hypothesis.

研究の動機と目的

• s = σ + it の虚部 t に関するオイラー二重ゼータ関数 ζ₂(s₀, s) の平均平方に対する漸近公式を導出すること。
• リーマンゼータ関数の古典的平均平方結果を二重ゼータ関数の設定に拡張すること。
• ℜs₀ + ℜs ≈ 3/2 である臨界帯における ζ₂(s₀, s) の振る舞いを、リーマンゼータ関数の臨界線 ℜs = 1/2 に類似させる。
• ζ₂(s₀, s) の臨界領域における増加率に基づいて、Lindelöf 予想の二重アナログを提唱すること。

提案手法

• 著者たちは、ζ₂(s₀, s) の積分表現を二重和として用い、s = σ + it のもとで平均平方 ∫₂ᵀ |ζ₂(s₀, s)|² dt を分析する。
• dyadic 分解と指数和の推定を用いて、平均平方を主要項と誤差項に分解する。
• 主な推定は、コーシー＝シュワルツの不等式と、特に log T と T のべき乗項を含む調和和の評価を用いて得られる。
• 特に、臨界線 σ₀ + σ = 3/2 の近くにおける実部 σ₀ と σ に応じた場合分けを実施する。
• 主要項として、ζ₂^{[2]}(s₀, 2σ) := ∑ₖ₌₂^∞ |∑ₘ₌₁^{k−1} m^{-s₀}|² k^{-2σ} で定義される関数が用いられる。
• 誤差項は、和を dyadic 区間に分割し、対数的およびべき乗重み付き和を評価することで推定され、σ₀ と σ に依存する明示的な O-項が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された s₀ に対して ℜs₀ > 1 のとき、T → ∞ の下で二重ゼータ関数 ζ₂(s₀, s) の平均平方はどのように振る舞うか？
• RQ2 ℜs₀ > 1 かつ 1/2 < ℜs ≤ 1 のとき、特に臨界線付近において ∫₂ᵀ |ζ₂(s₀, s)|² dt の精密な漸近公式は何か？
• RQ3 臨界帯 ℜs₀ + ℜs > 3/2 における ζ₂(s₀, s) の増加率に基づいて、Lindelöf 予想の二重アナログを定式化できるか？
• RQ4 ℜs₀ + ℜs = 3/2 のとき、平均平方公式はどのように変化するか？また、ℜs₀ + ℜs > 3/2 の領域と比較して誤差項はどのように変化するか？
• RQ5 特に σ₀ = 1 または σ = 1 の場合に、平均平方公式の誤差項は σ₀ と σ にどのように依存するか？

主な発見

• ℜs₀ > 1 かつ ℜs > 1 のとき、T → ∞ において ∫₂ᵀ |ζ₂(s₀, s)|² dt = ζ₂^{[2]}(s₀, 2σ)T + O(1) が成り立つ。
• 1/2 < ℜs ≤ 1 かつ ℜs₀ + ℜs > 2 のとき、平均平方は ζ₂^{[2]}(s₀, 2σ)T + O(T²⁻²σ log T) + O(T¹ᐟ²) に等しい。
• 1/2 < ℜs₀ < 3/2 かつ 1/2 < ℜs ≤ 1 で ℜs₀ + ℜs ≤ 2 のとき、主要項は依然として ζ₂^{[2]}(s₀, 2σ)T であり、誤差項は位置に依存する：ℜs₀ < 1 かつ ℜs < 1 のとき O(T⁴⁻²σ₀⁻²σ log T)、ℜs₀ < 1 かつ ℜs = 1 のとき O(T²⁻²σ₀ (log T)²)、ℜs₀ = 1 かつ ℜs < 1 のとき O(T²⁻²σ (log T)³)、ℜs₀ = 1 かつ ℜs = 1 のとき O(T¹ᐟ²)。
• 係数 ζ₂^{[2]}(s₀, 2σ) は ℜs₀ + ℜs → 3/2 に近づくと発散するため、リーマンゼータ関数の臨界線 ℜs = 1/2 に類似した臨界線が存在すると示唆される。
• 本稿では、Lindelöf 予想の二重アナログを提唱する：ℜs₀ > 1/2、ℜs > 1/2、s₀ + s ≠ 2、かつ t ≥ 2 のとき、ζ₂(s₀, s) = O(t^ε)（任意の ε > 0）である。
• 推定における誤差項 O(T¹ᐟ²) はコーシー＝シュワルツの不等式に起因しており、より洗練された解析により改善可能であると予想される。