[論文レビュー] Measured quantum groupoids with a central basis

Michel Enock|ArXiv.org|Aug 29, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、中心的基底を備えた測定量子群コホモロジーが、すべての構造的演算に関して不変な標準的なC*-部分代数を備え、それが連続的場のC*-代数を形成することを確立する。基底が量子群コホモロジーおよびその双対において両方中心的であるとき、構造は連続的場の局所コンパクト量子群に還元される。さらに、可換な測定量子群コホモロジーは、まさに局所コンパクト群コホモロジーから生じ、双対性によってラムゼーの定理が回復される。

ABSTRACT

Mimicking the von Neumann version of Kustermans and Vaes' locally compact quantum groups, Franck Lesieur had introduced a notion of measured quantum groupoid, in the setting of von Neumann algebras. In this article, we suppose that the basis of the measured quantum groupoid is central; in that case, we prove that a specific sub-${\bf C}^*$ algebra is invariant under all the data of the measured quantum groupoid; moreover, this sub-${\bf C}^*$-algebra is a continuous field of ${\bf C}^*$-algebras; when the basis is central in both the measured quantum groupoid and its dual, we get that the measured quantum groupoid is a continuous field of locally compact quantum groups. On the other hand, using this sub-${\bf C}^*$-algebra, we prove that any abelian measured quantum groupoid comes from a locally compact groupoid.

研究の動機と目的

• 中心的基底を備えた測定量子群コホモロジーのためのC*-代数的枠組みを構築し、von Neumann代数的構成を拡張すること。
• 特定のC*-部分代数が量子群コホモロジーの構造的演算に関して不変であることを証明すること。
• 中心的基底条件の下で、この不変部分代数が連続的場のC*-代数を形成することを示すこと。
• 可換な測定量子群コホモロジーが局所コンパクト群コホモロジーから生じることを確立し、ラムゼーの定理を回復すること。
• 中心的基底を備えた測定量子群コホモロジーの双対対が、連続的場の局所コンパクト量子群を生じることを示すこと。

提案手法

• 論文は、コプロダクト、コインバース、重みに関して不変な測定量子群コホモロジーのC*-部分代数を構成する。
• C*-代数におけるConnes-Sauvageot相対テンソル積および重みを用いて、C*-レベルでの構造を定義する。
• Blanchardが開発した連続的場のC*-代数の理論を、不変部分代数の分析に適用する。
• コプロダクトを部分代数に制限し、連続的場の最小テンソル積の乗数代数への写像であることを示す。
• 中心的基底条件の下で、元の測定量子群コホモロジーとその双対測定量子群コホモロジーの間の相互作用を分析することで双対性を検討する。
• 構成を可換な場合に適用し、このような量子群コホモロジーが双対性によって局所コンパクト群コホモロジーから生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心的基底を備えた測定量子群コホモロジーが不変なC*-部分代数を備えるための条件は何か？
• RQ2 中心的基底設定下で、不変C*-部分代数は連続的場のC*-代数とどのように関係するか？
• RQ3 両方の対象およびその双対が中心的基底を備える場合、測定量子群コホモロジーの双対性は完全に実現可能か？
• RQ4 すべての可換な測定量子群コホモロジーは局所コンパクト群コホモロジーから生じるか？
• RQ5 中心的基底の場合に、コプロダクトと不変部分代数の構造の正確な関係は何か？

主な発見

• 不変C*-部分代数はコプロダクト、コインバース、重みに関して保存され、連続的場のC*-代数を形成する。
• 基底が測定量子群コホモロジーおよびその双対の両方で中心的であるとき、構造は連続的場の局所コンパクト量子群である。
• コプロダクトは不変部分代数への写像として制限され、連続的場の最小テンソル積の乗数代数への写像である。
• 可換な場合、測定量子群コホモロジーは局所コンパクト群コホモロジーから生じ、ラムゼーの定理が回復される。
• 非対角成分への作用はエルゴディックかつ可積分であり、コプロダクト制限から自然に得られる作用値重みが存在する。
• 中心射影の像が双対の中心にある場合、量子群コホモロジーは二つの局所コンパクト量子群の直和に分解される。