[論文レビュー] Measuring nonstabilizerness via multifractal flatness

Xhek Turkeshi, Marco Schiró+1 more|arXiv (Cornell University)|May 19, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 102被引用数 8

ひとこと要約

要約: 本論文は非安定化性（マジック）を波動関数の構造と結びつけ、多重フラクタルの平坦性を導入して、それがクリフォード軌道の平均と安定化エントロピーに関係することを示し、量子デバイス上での可測性を示す。

ABSTRACT

Universal quantum computing requires nonstabilizer (magic) quantum states. Quantifying the nonstabilizerness and relating it to other quantum resources is vital for characterizing the complexity of quantum many-body systems. In this work, we prove that a quantum state is a stabilizer if and only if all states belonging to its Clifford orbit have a flat probability distribution on the computational basis. This implies, in particular, that multifractal states are nonstabilizers. We introduce multifractal flatness, a measure based on the participation entropy that quantifies the wave-function distribution flatness. We demonstrate that this quantity is analytically related to the stabilizer entropy of the state and present several examples elucidating the relationship between multifractality and nonstabilizerness. In particular, we show that the multifractal flatness provides an experimentally and computationally viable nonstabilizerness certification. Our work unravels the direct relation between the nonstabilizerness of a quantum state and its wave-function structure.

研究の動機と目的

• 量子状態における非安定化性（マジック）を定量化する必要性を動機づけ、定式化すること。
• 参加エントロピーと多重フラクタル解析を通じて非安定化性と波動関数の構造を関連づけること。
• 多重フラクタル平坦性を導入し、それが安定化エントロピーおよび非安定化性に連結することを証明すること。
• クリフォード軌道の平均を通じて非安定化性を見積もる実用的手法を提供し、実験的可測性を実証すること。

提案手法

• 計算基底分布からの安定化エントロピー M_q(|Ψ⟩) および参加エントロピー S_q(|Ψ⟩) を定義すること。
• 多重フラクタル平坦性 F(|Ψ⟩) = I_3(|Ψ⟩) − I_2(|Ψ⟩)^2 を導入し、平坦分布で等号となる非負性を証明すること。
• 定理1を証明する: クリフォード軌道の F の平均は 2(1 − 2^{-M_2(|Ψ⟩)})/((d+1)(d+2)) に等しいこと。
• 平坦性と非安定化性の相関を示し、固定 C に対する実用的な指標 F(C|Ψ⟩) を導くこと。
• クリフォード群上のモンテカルロサンプリングを用いて平均平坦性を推定し、それにより M_2 を推定する方法を説明すること。
• ノイズの多い中規模量子デバイスでの実験的実現可能性を示すこと。

Figure 1: Pictorial representation of the replica picture. Each page is a folding of $C|\Psi\rangle$ and its adjoint. Applying $\Lambda^{(q)}_{k}$ on each site imply a sum over the same physical index and results in book boundary conditions.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算基底の波動関数構造だけで非安定化性を特徴づけられるか？
• RQ2 状態のクリフォード軌道平坦性と安定化エントロピー M_2 の間に厳密な関係はあるか？
• RQ3 多重フラクタル平坦性は現行の量子デバイスで実用的なマジックの指標として機能し、測定可能か？
• RQ4 様々な状態クラス（単一量子ビット、積状態、ハール乱状態）において、多重フラクタル性（非平坦な参加分布）が非安定化性を示すか？

主な発見

• 安定化状態は参加分布が平坦であり、逆に非安定化状態はクリフォード軌道上で平坦でない参加分布を持つ（定理1および系Corollary 1）。
• 多重フラクタル平坦性のクリフォード軌道平均は安定化エントロピーと関連し、平均は overline{F} = 2(1 − 2^{-M_2(|Ψ⟩)})/((d+1)(d+2))。
• 多重フラクタル平坦性はモンテカルロサンプリングを介して実用的な非安定化性の証明として機能し得る。
• 例は非安定化性が非平坦な参加エントロピーと相関することを示し、ランダムなハール状態は高い M_2 を持ち、非平坦だが必ずしも平坦でない参加分布を持つ。
• F から M_2 を推定するにはサイズの指数的なサンプリングが必要だが、小さな N では局所クリフォード回路ベースの探査が実行可能であり、IBM 量子デバイスの実験は F の誤差低減で可測性を示す。
• 本研究は状態の非安定化性と波動関数構造の直接的な結びつきを確立し、実用的なマジック検出を可能にする。

Figure 2: Determining stabilizer entropy with multifractal flatness $\mathcal{F}$ . Upper panel: statistical error $\sigma(M_{2})$ of stabilizer entropy determined from $\mathcal{N}_{\mathrm{real}}$ measurements of $\mathcal{F}$ for a random Haar state; the asymptotic $\mathcal{N}^{-1/2}_{\mathrm{re