[論文レビュー] Metaplectic Whittaker category and quantum groups : the "small" FLE

Dennis Gaitsgory, S. D. Lysenko|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、要因構造、ヘッケ作用、半無限幾何学を用いて、メタプレクティックな設定における '小' FLEC（フロベニウス＝ラングランズ＝楕円）同等性を確立する。メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーがヘッケ固有対象のカテゴリーと同等であることを証明し、量子群の双対性とメタプレクティックな文脈における幾何学的サタケを用いて、古典的なウィットカー＝ヘッケ対応をメタプレクティック群へ拡張する。

ABSTRACT

We prove that the category of Hecke eigensheaves in the metaplectic Whittaker category of the affine Grassmannian is equivalent to the category of modules over the small quantum group. This a step towards proving the FLE: the fundamental local equivalence in the quantum geometric Langlands theory.

研究の動機と目的

• 古典的なウィットカー＝ヘッケ対応をメタプレクティック群へ拡張する文脈において、'小' FLEC（フロベニウス＝ラングランズ＝楕円）同等性を確立すること。
• メタプレクティック・データにおける要因代数、配置空間、幾何学的サタケを用いて、メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーを定義し、研究すること。
• メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーがヘッケ固有対象のカテゴリーと同等であることを証明し、古典的なヘッケ固有層性質をメタプレクティックの場合へ一般化すること。
• メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーとアフィン・グラスマンイアン上の半無限IC層との間のグローバル・ローカル同等性を確立すること。
• メタプレクティック幾何学的サタケおよび双対性の理論を構築し、メタプレクティック双対データとユニタル構造の役割を含めること。

提案手法

• アーティン＝シュライエル層との *-畳み込みとジャケット関手を用いて、マークされた点を持つ配置空間上の層のフル部分カテゴリーとして、メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーを構成する。
• フーリエ＝デル・フューレ変換の図式を用いて、* -キリロフおよび ! -キリロフカテゴリーを、関手 $\operatorname{Av}^{\mathbb{G}_a,\chi}_*$ および $\operatorname{Av}^{\mathbb{G}_a,\chi}_!$ を通じて関連付ける。
• 関手 $j_*({\mathsf{e}})[3]\overset{!}{\star}-$ と $j_!({\mathsf{e}})[-1]\overset{*}{\star}-$ を含む随伴関手を介して、等価性 $\operatorname{Kir}_*(\mathcal{Y}) \simeq \operatorname{Kir}_!(\mathcal{Y})$ を示す。ここで $j: \mathbb{G}_a \setminus \{0\} \hookrightarrow \mathbb{G}_a$ である。
• リーマン＝ヒルベルト対応を用いて、正則Dモジュールへ還元し、可構造的設定における * および ! -キリロフ関手の同等性を証明する。
• メタプレクティック双対データを用いて、メタプレクティック幾何学的サタケ対応を構築し、ヴェルディエ双対性と整合することを示す。
• ラン空間形式主義と半無限軌道を用いて、グローバル定義（コインvariants）とローカル定義との同等性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子群の双対性を用いて、古典的なウィットカー＝ヘッケ対応をどのようにメタプレクティックな文脈へ拡張できるか？
• RQ2 要因代数と配置空間の観点から、メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーの構造はどのようなものか？
• RQ3 * -キリロフ関手と ! -キリロフ関手はメタプレクティックな文脈においてどのように関係し、それらは同等か？
• RQ4 半無限IC層はメタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーにおいてどのような役割を果たし、グローバルヘッケ性質とどのように関係するか？
• RQ5 ジャケット関手とグローバル・ローカル同等性を用いて、メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリー上にヘッケ固有対象構造を確立できるか？

主な発見

• メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーはヘッケ固有対象のカテゴリーと同等であり、古典的なヘッケ固有層性質をメタプレクティック群へ一般化する。
• * -キリロフおよび ! -キリロフカテゴリーは、$j_*({\mathsf{e}})[3]\overset{!}{\star}-$ と $j_!({\mathsf{e}})[-1]\overset{*}{\star}-$ を含む、互いに逆関手である関手を介して同等である。リーマン＝ヒルベルト対応を用いてこれを証明した。
• メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーは、* -畳み込みによるアーティン＝シュライエル層の作用に関して不変な、$\operatorname{Shv}({\mathcal{Y}})^{\mathbb{G}_m}$ のフル部分カテゴリーとして定義される。
• グローバル定義（コインバリアント）としてのメタプレクティック・ウィットカー・カテゴリーは、ラン空間形式主義を用いてローカル定義と同等である。
• アフィン・グラスマンイアン上の半無限IC層はヘッケ固有対象であり、ねじれ $T$-可換構造を介してグローバルにヘッケ性質が確立される。
• メタプレクティック・ウィットカー・カテゴリー上の t 構造はヘッケ作用と整合し、不変な対象は階数付きヘッケカテゴリーとメタプレクティック双対データを用いて記述される。