[論文レビュー] The Atiyah-Bott formula for the cohomology of the moduli space of bundles on a curve

Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|May 10, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、非可換ポincare双対性、ヴェルディエ双対性、およびラン空間上の因数化代数を用いて、有限体上の滑らかで射影な曲線の主G bundleのモジュライ空間のコホモロジーに対するアティヤ＝ボットの公式を確立する。主な結果は、フロベニウス作用素のコホモロジーへのトレースを閉点上の無限積に等しくするオイラー積の公式であり、スペクトル系列とグローテンディーク＝レフシェッツのトレース公式を用いて収束性と等式が証明される。

ABSTRACT

This paper is a companion of the paper "Weil's conjecture for function fields" by J. Lurie and the author. We present a different exposition of essentially the same algebro-geometric proof of the Atiyah-Bott for the cohomology of Bun(G), which subsequently leads to the proof of the Tamagawa number formula for the volume of the automorphic space for function fields.

研究の動機と目的

• 有限体上の滑らかで射影な曲線の主G bundleのモジュライスタックのコホモロジーに対するアティヤ＝ボットの公式を確立すること。
• コホモロジーへのフロベニウス作用素のレフシェッツトレースを閉点上のオイラー積に等しくする数値的積の公式を証明すること。
• 非可換ポincare双対性を用いて、ラン空間上のグローバル双対構造からモジュライ空間のコホモロジーが生じることを示すこと。
• ヴェルディエ双対性と因数化構造を用いて、コホモロジー的積の公式と数値的積の公式が同値であることを示すこと。

提案手法

• 非可換ポincare双対性を用いて、モジュライスタックのコホモロジーとラン空間上のチャイナルホモロジーを関連付ける。
• プリスタックおよびラックスプリスタックにおけるヴェルディエ双対性を適用し、双対化複体を関連づけ、双対性同型を確立する。
• 増分およびユニタリなラン空間の構成を用いて、ユニットを取り除く関手を定義し、ラン空間の異なるバージョン間の層を関連付ける。
• 因数化代数およびコホモロジーの形式的枠組みを用いて、グローバル双対性問題を局所的な点ごとの双対性の主張に還元する。
• グローテンディーク＝レフシェッツのトレース公式を適用し、$BG_x$ 上のトレースを計算し、それらを局所的オイラー因子に関連付ける。
• フロベニウス作用素のコホモロジー上の$\tau$-重みの分析と$t$に関する形式的べき級数を用いて、無限積の収束性と等式を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラン空間上のグローバル双対構造から、$\mathrm{Bun}_G$ のコホモロジーに対するアティヤ＝ボットの公式をどのように導出できるか。
• RQ2 $\mathrm{Bun}_G$ のコホモロジーとラン空間上のある層のチャイナルホモロジーとの間の正確な関係は何か。
• RQ3 閉点上のオイラー積としてレフシェッツトレースを表す数値的積の公式は、どのようにグローバル双対性と因数化から導かれるか。
• RQ4 特にユニタリ版および増分版を含むラン空間は、コホモロジー的積の公式を実現するために果たす役割は何か。
• RQ5 スペクトル系列と$\tau$-重み解析を用いて、数値的積の公式における収束性と等式を確立できるか。

主な発見

• コホモロジー$\mathrm{H}^*(\mathrm{Bun}_G)$は有限次元であり、レフシェッツトレース$\sum (-1)^i \tau(\mathrm{Tr}(\mathrm{Frob}^{-1}, \mathrm{H}^i(\mathrm{Bun}_G)))$は絶対収束する。
• 無限積$\prod_{x \in |X^0|} \frac{|k_x|^{\dim(G_x)}}{|G(k_x)|}$は絶対収束し、コホモロジーへのレフシェッツトレースに等しい。
• レフシェッツトレースは$\tau(1 / \det(1 - \mathrm{Frob}^{-1}, \mathrm{H}^*(X', M)))$に等しく、これは局所的システムのコホモロジーの対称代数に関連づけられる。
• グローテンディーク＝レフシェッツの公式を用いて、コホモロジーの対称冪の生成関数と点ごとのオイラー積を一致させることで、積の公式が導かれる。
• $\mathrm{Frob}^{-1}$の$\mathrm{H}^*(X', M)$上の$\tau$-重みはすべて$\leq -2$であり、$t=1$における級数の収束を保証する。
• コホモロジーの$\mathrm{Sym}_{{\mathbb{Q}}_\ell}(\mathrm{H}^*(X', M))$の生成関数が$t=1$においてオイラー積の級数と一致することを示すことにより、トレースと積の等式が確立される。