[論文レビュー] Metrical Multi-Time Lagrange Geometry of Physical Fields

Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2000

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1-jetファイバー束 $J^1(T,M)$ 上のKronecker $h$-正則ラグランジアンを用いて、重力場と電磁場を統一するための計量的多時刻ラグランジュ幾何学の枠組みを提示する。カルタンの正則接続と計量的 d-テンソルを用いて一般化されたアインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式を導出し、特定の条件下で保存則と場の運動方程式が古典的形式に還元されることを示し、パrametrizedかつ幾何学的に整合性のある場の理論を確立する。

ABSTRACT

The author exposes the metrical multi-time Lagrange geometry of physical fields which naturally generalizes the classical Lagrangian developped by Miron and Anastasiei. In other words, one constructs a natural theory of physical fields on the 1-jet fibre bundle, attached to a Kronecker h-regular multi-time Lagrangian with partial derivatives of order one.

研究の動機と目的

• 1-jetバンドル $J^1(T,M)$ 上の計量的多時刻ラグランジュ空間を用いた物理的場の幾何学的枠組みの構築を目的とする。
• Kronecker $h$-正則ラグランジアンに基づく単一の幾何的構造内で、重力場理論と電磁場理論を統一することを目的とする。
• カルタンの正則接続と計量的d-テンソルを用いて、一般化されたアインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式を導出することを目的とする。
• 多時刻ラグランジュ幾何学の文脈において、重力的および電磁的場の保存則を確立することを目的とする。
• 特定の条件下で理論が古典的アインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式に還元されることを示し、物理的整合性を検証することを目的とする。

提案手法

• Kronecker $h$-正則ラグランジアン $L: J^1(T,M) \to \mathbb{R}$ を持つ計量的多時刻ラグランジュ空間 $ML^n_p = (J^1(T,M), L)$ を用いる。
• 統一された重力場をモデル化するため、基本的な計量的d-テンソル $g_{ij}(x^k, y^k) = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 L}{\partial y^i \partial y^j}$ を構築する。
• 計量的適合条件 $g_{ij|k} = 0$ および $g_{ij}|_k = 0$ を通じて、カルタンの正則接続 $C\Gamma = (L^i_{jk}, C^i_{jk})$ を導入する。
• TM 上のササキアンに類似した計量 $G = g_{ij} dx^i \otimes dx^j + g_{ij} \delta y^i \otimes \delta y^j$ を導出する。
• 非線形接続 $\Gamma = (N^i_j(x,y))$ を用いて、適応基底 $\{ \delta/\delta x^i, \partial/\partial y^i \}$ および双対形式を定義する。
• リッチテンソル $R_{ij}, S_{ij}$ およびエネルギー運動量テンソル $\mathcal{T}^{H,V}$ にアインシュタイン型の曲率条件を課すことによって、場の運動方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多時刻ラグランジュ幾何学を用いて、重力場と電磁場の両方を統一する幾何的枠組みをどのように構築できるか？
• RQ2 計量的多時刻ラグランジュ空間の文脈における一般化されたアインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式は何か？
• RQ3 カルタンの正則接続と計量的構造から、重力的および電磁的場の保存則はどのように導かれるか？
• RQ4 多時刻ラグランジュ理論が古典的アインシュタイン方程式およびマクスウェル方程式に還元される条件は何か？
• RQ5 ゲージ群とパrametrizationは、物理的場の幾何学的定式化において果たす役割は何か？

主な発見

• 計量的多時刻ラグランジュ空間 $ML^n_p$ の一般化されたアインシュタイン方程式は、$R_{ij} - \frac{1}{2}R g_{ij} = \mathcal{K} \mathcal{T}^{H}_{ij}$ および $S_{ij} - \frac{1}{2}S g_{ij} = \mathcal{K} \mathcal{T}^{V}_{ij}$ で与えられ、ここで $\mathcal{K}$ はアインシュタイン定数である。
• 電磁場のマクスウェル方程式は、$F_{ij|k} + F_{jk|i} + F_{ki|j} = -\sum_{\{i,j,k\}} C_{imr} R^r_{jk} y^m$ として導出され、$F_{ij}$ は水平成分であり、$f_{ij} = 0$ である。
• $p=1$ の場合、保存則は $\left[\frac{R+S}{2}\right]_{/1} = R^m_{1|m} - P^{(m)}_{(1)1}|^{(1)}_{(m)}$ であり、他の成分に対しても同様の式が成り立ち、エネルギー運動量の保存を保証する。
• $p \geq 2$ の場合、保存則は $\tilde{\mathcal{T}}^\mu_{\beta/\mu} = 0$ および $\tilde{\mathcal{T}}^m_{j|m} = 0$ に簡略化され、削減された形で自然な保存則が成立することを示す。
• 定常系の場合（$g_{ij} = g_{ij}(x^k)$）、保存則は $\left[H^\mu_\beta - \frac{H+r}{2}\delta^\mu_\beta\right]_{/\mu} = 0$ および $\left[r^m_j - \frac{H+r}{2}\delta^m_j\right]_{|m} = 0$ に還元される。
• 理論は、マーサンの意味での「計量的パラメータ化された」場の理論であることが示され、$J^1(T,M)$ バンドルのゲージ群に関して不変であることから、幾何学的自然性が確認される。