[論文レビュー] Miller-Abrahams random resistor network, Mott random walk and 2-scale homogenization

Alessandra Faggionato|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は2スケール均質化を用いて、ミラー＝アブラハムスのランダム抵抗ネットワークのほとんど確実な均質化を確立し、その無限体積における導電率が有効拡散行列 $D$ によって支配されることを証明した。この $D$ はモットの確率的ランダムウォークの極限拡散行列と一致し、低温における導電率の低下に関する物理的モット則を確認するものである。さらに、$D$ の変分的特徴付けが得られ、抵抗ネットワークモデルへの厳密な境界の拡張がなされた。

ABSTRACT

The Miller-Abrahams (MA) random resistor network is given by a complete graph on a marked simple point process with edge conductivities depending on the marks and decaying exponentially in the edge length. As Mott random walk, it is an effective model to study Mott variable range hopping in amorphous solids as doped semiconductors. By using 2-scale homogenization we prove that a.s. the infinite volume conductivity of the MA resistor network is given by an effective homogenized matrix $D$. Moreover $D$ admits a variational characterization and equals the limiting diffusion matrix of Mott random walk. This result clarifies the relation between the two models and it also allows to extend to the MA resistor network the existing bounds on $D$ in agreement with the physical Mott law [12,14]. The latter concerns the low temperature stretched exponential decay of conductivity in amorphous solids. The techniques developed here can be applied to other models, as e.g. the random conductance model [11], without ellipticity assumptions.

研究の動機と目的

• ミラー＝アブラハムスのランダム抵抗ネットワークの無限体積極限における厳密な均質化を確立すること。
• ミラー＝アブラハムスの抵抗ネットワークとモットのランダムウォークとの間の関係を明確にし、両者が同じ極限拡散行列 $D$ を共有することを示すこと。
• 有効導電率行列 $D$ の変分的特徴付けを導出し、低温における導電率の低下がモット則を満たすことを検証すること。
• モットのランダムウォークに対して得られた $D$ の既存の厳密な境界を、抵抗ネットワークモデルへ拡張し、物理的期待と整合することを確認すること。
• 楕円性の仮定を必要としない一般のランダム抵抗ネットワークに適用可能な2スケール収束に基づく枠組みを構築すること。

提案手法

• マーク付き単純点過程上におけるミラー＝アブラハムスのランダム抵抗ネットワークの電気的導電率を分析するために、2スケール均質化技術を用いる。
• 2スケール収束を適用して、系のスケールが大きくなる極限における有効導電率行列 $D$ を導出する。
• 系のエネルギー汎関数から得られる $D$ の変分的特徴付けに依拠する。
• ランダム測度 $\nu^\varepsilon$ に関する $L^2$ における弱収束を用いて、電気的ポテンシャルおよび電流場の収束を確立する。
• 電流場の反対称性および内部ノードにおける発散なしの条件を用いて、ネットワーク内電流バランスを簡略化する。
• 空間的距離とエネルギーのマークに依存するランダムで長距離に及ぶ導電率を取り扱うために、2スケール収束の理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミラー＝アブラハムスのランダム抵抗ネットワークの無限体積における導電率は、ほとんど確実に定数の有効行列 $D$ に収束するか？
• RQ2 抵抗ネットワークの有効行列 $D$ は、モットのランダムウォークの極限拡散行列と同一か？
• RQ3 抵抗ネットワークモデルの文脈において、$D$ の変分的特徴付けを厳密に導出可能か？
• RQ4 モットのランダムウォークに対して得られた $D$ の境界は、ミラー＝アブラハムスの抵抗ネットワークへ拡張可能であり、導電率の低下に関するモット則を確認できるか？
• RQ5 楕円性条件を仮定しないランダム抵抗ネットワークに対しても、2スケール均質化が適用可能か？

主な発見

• ミラー＝アブラハムスのランダム抵抗ネットワークの無限体積における導電率は、ほとんど確実に $D \cdot \rho$ に収束する。ここで $D$ は定数の有効行列であり、$\rho$ は点密度の平均である。
• 有効行列 $D$ は、モットのランダムウォークの極限拡散行列と同一であり、両モデル間の厳密な関係を確立する。
• 行列 $D$ は変分的特徴付けを有し、これによりモット則と整合する上界および下界の導出が可能になる。
• $D$ の境界は、モット則が予測する伸びた指数的減少と一致する：$d \geq 2$ に対して $D(\beta) \sim \exp\bigl(-c\,\beta^{\frac{1+\alpha}{\alpha+d+1}}\bigr)$。
• 本稿で開発された2スケール均質化フレームワークは、導電率に楕円性の仮定を必要としない一般のランダム抵抗ネットワークに適用可能である。
• 結果は電気的ポテンシャルに対しても拡張され、同じスケーリングのもとで調和的極限への均質化が示された。