[論文レビュー] Minimal complex surfaces with Levi-Civita Ricci-flat metrics

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、第一Aeppli-Chern類を、リーマン幾何と複素幾何の間の橋渡しとして導入し、Levi-Civitaリッチ平坦なヘルミート計量を許容する最小複素曲面を分類する。その結果、これらはKähler Calabi-Yau曲面（エンリケス、双周期的、K3、2次トーラス）またはホフ曲面であることが示された。Levi-Civitaリッチ平坦性は、このクラスの消滅を意味し、非ケーラー設定におけるCalabi予想に類似した分類が得られる。

ABSTRACT

This is a continuation of our previous paper [14]. In [14], we introduced the first Aeppli-Chern class on compact complex manifolds, and proved that the $(1,1)$ curvature form of the Levi-Civita connection represents the first Aeppli-Chern class which is a natural link between Riemannian geometry and complex geometry. In this paper, we study the geometry of compact complex manifolds with Levi-Civita Ricci-flat metrics and classify minimal complex surfaces with Levi-Civita Ricci-flat metrics. More precisely, we show that minimal complex surfaces admitting Levi-Civita Ricci-flat metrics are Kähler Calabi-Yau surfaces and Hopf surfaces.

研究の動機と目的

• 非ケーラーなヘルミート多様体上のリーマン幾何（Levi-Civita接続を介して）と複素幾何との間の幾何的関係を確立すること。
• 特に最小複素曲面に対して、Levi-Civitaリッチ平坦なヘルミート計量の存在を調査すること。
• このような計量を許容する最小複素曲面を分類し、ケーラーでない設定におけるCalabi-Yau定理を拡張すること。
• 対角ホフ曲面上でのLevi-Civitaリッチ平坦計量の明示的構成を行い、それらの存在に関するより広範な予想を支持すること。

提案手法

• Levi-Civita接続の曲率の(1,1)-形式が代表するコhomology類として、第一Aeppli-Chern類 $ c_1^{ ext{AC}}(X) $ を導入する。
• 恒等式 $ \text{Ric}( ext{LC}) = \text{Ric}( ext{Chern}) - \frac{1}{2}(\bar\theta \bar\theta^* + \theta \theta^*) $ を用いて、Levi-Civitaリッチ曲率とチャーン-リッチ曲率、および計量随伴作用素を関連付ける。
• 条件 $ \text{Ric}( ext{LC})(\text{LC}) = 0 $ がかつて $ \text{Ric}( ext{Chern}) = \frac{1}{2}(\bar\theta \bar\theta^* + \theta \theta^*) $ であることを用い、必要条件を導出する。ここで $ \theta = \bar\theta = \text{Ric}(/text{LC}) $ である。
• Kodaira-Enriques分類を用いて、$ c_1^{ ext{AC}}(X) = 0 $ の条件下での可能な候補を分析する。
• 対角ホフ多様体上での摂動計量 $ \rho_g = \rho_0 - \frac{1}{n} \sqrt{-1} \partial\bar\partial \log|z|^2 $ の構成により、Levi-Civitaリッチ平坦性を明示的に実現する。
• Gauduchon計量の技術と曲率積分を用いて、イヌエおよびコーダイラ曲面上でのLevi-Civitaリッチ平坦性を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの最小複素曲面が、Levi-Civita接続のリッチ曲率がゼロとなるヘルミート計量を許容するか？
• RQ2 第一Aeppli-Chern類 $ c_1^{ ext{AC}}(X) $ の消滅は、Levi-Civitaリッチ平坦なヘルミート計量の存在を意味するか？
• RQ3 ホフ曲面上でLevi-Civitaリッチ平坦計量を構成可能か？また、すべてのホフ曲面上にそれらが存在するか？
• RQ4 イヌエおよびコーダイラ曲面は $ c_1(X) = c_1^{ ext{BC}}(X) = c_1^{ ext{AC}}(X) = 0 $ を満たすにもかかわらず、なぜLevi-Civitaリッチ平坦計量を許容しないのか？
• RQ5 非ケーラー幾何において、Levi-Civitaリッチ曲率はチャーン-リッチ曲率とどのように異なるか？そして、それらを支配する方程式は何か？

主な発見

• Levi-Civitaリッチ平坦なヘルミート計量を許容する最小複素曲面は、正確にKähler Calabi-Yau曲面（エンリケス、双周期的、K3、2次トーラス）およびホフ曲面である。
• 第一Aeppli-Chern類 $ c_1^{ ext{AC}}(X) $ は、Levi-Civita接続の曲率の(1,1)-形式によって代表され、リーマン幾何と複素幾何との間の自然な接続を提供する。
• 対角ホフ曲面上では、計量 $ \omega_g = \omega_0 - \frac{1}{n}\sqrt{-1}\partial\bar\partial\log|z|^2 $ が明示的にLevi-Civitaリッチ平坦であることが示された。
• Levi-Civitaリッチ平坦条件 $ \mathfrak{Ric}(\omega) = 0 $ は、非楕円型偏微分方程式系 $ \text{Ric}(\omega) = \frac{1}{2}(\partial\partial^*\omega + \bar\partial\bar\partial^*\omega) $ と同値である。
• イヌエおよびコーダイラ曲面は、任意のGauduchon計量に対して総リッチ曲率積分が負であるため、Levi-Civitaリッチ平坦計量を許容しない。これは必要な恒等式と矛盾する。
• 本論文は、すべてのホフ曲面がLevi-Civitaリッチ平坦計量を許容すると予想しているが、実際に明示的に構成されたのは対角ホフ曲面に限る。