[論文レビュー] Misere Hackenbush is NP-Hard

Fraser Stewart|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2012

Artificial Intelligence in Games参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、既に知られているNP困難である通常プレイの赤-青ハケンバッシュから帰着することで、赤-青-緑MisèreハケンバッシュがNP困難であることを証明している。赤-青Misèreハケンバッシュは、接地されたエッジの数を単純に数えることで多項式時間で解けるが、両プレイヤーが削除可能な緑エッジの追加により、組合せ的複雑性が生じ、Misèreプレイルール下で問題の計算複雑性がNP困難に上昇する。

ABSTRACT

Hackenbush is a two player game, played on a graph with coloured edges where players take it in turns to remove edges of their own colour. It has been shown that under normal play rules Red-Blue Hackenbush (all edges are coloured either red or blue) is NP-hard. We will show that Red-Blue Hackenbush is in P, but that Red-Blue-Green Hackenbush is NP-Hard, when played under misère rules.

研究の動機と目的

• Misèreプレイルール下における赤-青-緑Misèreハケンバッシュの計算複雑性を特定すること。
• 多項式時間で解ける赤-青Misèreハケンバッシュの複雑性と、緑エッジを含むより複雑なケースの複雑性を対比すること。
• 両プレイヤーが削除可能な緑エッジの導入が、問題の難易度を著しく上昇させ、NP困難性を引き起こすことを確立すること。
• 例えば、接地された緑エッジのみを含むような制限付き形式のゲーム（例：接地された緑エッジのみ）が、依然としてNP困難であるかどうかを調査すること。

提案手法

• 通常プレイの赤-青ハケンバッシュから、Misèreプレイの赤-青-緑ハケンバッシュへの帰着を構築する。
• 変換は、地面を1つの頂点に置き換え、その結果得られるグラフを1つの接地された緑エッジに接続することを含む。
• この構造により、どちらのプレイヤーも早期に緑エッジを切らないことが保証され、なぜならそれによりMisèreルール下で即座に負けてしまうからである。
• 変換後のゲーム $ G_m $ の結果は、元の $ G' $ の通常プレイルール下での結果を反映する。
• 証明は、通常プレイで勝つプレイヤーがMisèreプレイでも勝つという事実に依拠している。
• この帰着はNP困難性を保ち、$ G_m $ を解くことは元のNP困難問題を解くのと同等以上に難しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 赤-青Misèreハケンバッシュが多項式時間で解けるにもかかわらず、赤-青-緑MisèreハケンバッシュはNP困難であるか？
• RQ2 通常プレイの赤-青ハケンバッシュのNP困難性が、緑エッジを含むMisère版に引き継がれるか？
• RQ3 両プレイヤーが削除可能な緑エッジの存在が、ゲームの計算複雑性を根本的に変えるか？
• RQ4 例えば、接地された緑エッジのみを含むような制限付きサブクラス（例：接地された緑エッジのみ）は、依然としてNP困難であるか？

主な発見

• 赤-青Misèreハケンバッシュは多項式時間で解ける。結果は、接地された青エッジと赤エッジの数を単純に比較することで決定される。
• 接地された青エッジの数が赤エッジの数を上回ればLeftが勝ち、赤エッジの数が青エッジの数を上回ればRightが勝ち、両者が等しければ先手が勝つ。
• 赤-青-緑Misèreハケンバッシュに緑エッジを追加することで、問題の複雑性がNP困難に上昇する。
• NP困難性は、既に知られているNP困難である通常プレイの赤-青ハケンバッシュからの帰着により確立される。
• 帰着により、Misèreプレイ下での結果が通常プレイ下での $ G' $ の結果を反映するゲーム $ G_m $ が構築される。
• 証明は、$ G_m $ においてどちらのプレイヤーも接地された緑エッジを切らないことを示しており、なぜならそれによりMisèreルール下ですぐに相手に勝利をもたらすからである。