[論文レビュー] Mixed quasi-étale surfaces, new surfaces of general type with $p_g=0$ and their fundamental group

Davide Frapporti|arXiv (Cornell University)|May 6, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$p_g = 0$ である一般型曲面の新しい構成法として、$\geq 2$ の種数をもつ曲線 $C$ における $C \times C$ 上の有限群作用を用いた混合擬エタール曲面を導入する。$(C \times C)/G^0$ がノードのみを特異点としてもつ条件の下で、13家族のこのような曲面を分類し、トポロジカルな基本群が $\mathbb{Z}_4$ である最初の数値キャンペデリ曲面の例を提供するとともに、一般型曲面の2つの新しいトポロジカル型を実現する。

ABSTRACT

We call a projective surface $X$ mixed quasi-étale quotient if there exists a curve $C$ of genus $g(C)\geq 2$ and a finite group $G$ that acts on $C imes C$ exchanging the factors such that $X=(C imes C)/G$ and the map $C imes C ightarrow X$ has finite branch locus. The minimal resolution of its singularities is called mixed quasi-étale surface. We study the mixed quasi-étale surfaces under the assumption that $(C imes C)/G^0$ has only nodes as singularities, where $G^0 riangleleft G$ is the index two subgroup of the elements that do not exchange the factors. We classify the minimal regular surfaces with $p_g=0$ whose canonical model is a mixed quasi-étale quotient as above. All these surfaces are of general type and as an important byproduct, we provide an example of a numerical Campedelli surface with topological fundamental group $\bbZ_4$, and we realize 2 new topological types of surfaces of general type. Three of the families we construct are $\bbQ$-homology projective planes.

研究の動機と目的

• 自由作用でない場合にまで一般型曲面の分類を拡張するため、$C \times C$ 上の非自由な混合群作用を研究すること。
• 因子を入れ替える混合作用をもつ $G$ による $X = (C \times C)/G$ の混合擬エタール商を分析し、その被覆写像が有限な分岐点を持つこと。
• $(C \times C)/G^0$ がノードのみを特異点としてもつという仮定の下で、 canonical model が混合擬エタール商である最小の正則曲面で $p_g = 0$ であるものを分類すること。
• 新しい一般型曲面の例を構成すること、特に $p_g = 0$ で基本群が $\mathbb{Z}_4$ である数値キャンペデリ曲面を含み、これまでに知られていなかったトポロジカル型を実現すること。

提案手法

• 混合擬エタール商を、$G$ が $C \times C$ 上で因子を入れ替える混合作用をもち、被覆写像が有限分岐点を持つ $X = (C \times C)/G$ として定義する。
• 因子を固定する指数2の部分群 $G^0 \triangleleft G$ の場合に注目し、$(C \times C)/G^0$ が $A_1$-特異点（ノード）のみをもつ場合を対象とする。
• 特異曲面の基本群のための型 $(a,b,c)$ の球面的生成系を用いて、可能な群作用を分類する。
• リーデマイスター＝シュライエル法と MAGMA の計算を用いて、256以下の位数をもつ有限群について、指定された型の球面的生成系の存在を分析する。
• 特異点の最小解消を構成して滑らかな混合擬エタール曲面を得、$K^2$、ベッチ数、基本群などの不変量を計算する。
• 明示的な群論的および幾何的解析、特に MAGMA における特異点のテストを用いて、$X = (C \times C)/G$ の特異点を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限群作用が $C \times C$ 上で混合作用をもち、有限分岐点を持つ場合に、$p_g = 0$ である一般型曲面の最小化をもたらすか？
• RQ2 $(C \times C)/G^0$ がノードのみを特異点としてもつという条件下で、canonical model が混合擬エタール商である最小の正則曲面で $p_g = 0$ であるものの、可能な基本群は何か？
• RQ3 非自由な混合群作用によって、一般型曲面の $p_g = 0$ に対して、これまでに知られていなかったトポロジカル型を実現できるか？
• RQ4 このような構成から、基本群が $\mathbb{Z}_4$ である数値キャンペデリ曲面が存在するか？
• RQ5 256以下の位数をもつ有限群のうち、指定された型の球面的生成系をもち、商において期待される特異点をもたらすものはどれか？

主な発見

• 本稿では、$(C \times C)/G^0$ がノードのみを特異点としてもつという条件下で、$p_g = 0$ である最小の正則曲面13家族を分類した。
• 構成された家族の1つは、トポロジカル基本群が $\mathbb{Z}_4$ である数値キャンペデリ曲面をもたらし、このような基本群をもつ最初の例である。
• 一般型曲面の $p_g = 0$ に対して、これまでの文献で知られていなかった2つの新しいトポロジカル型が実現された。
• 構成された3つの家族は $\mathbb{Q}$-ホモロジー射影平面であり、$b_2 = 1$ かつ $K^2 = 9$ を満たす。
• 1つの場合において $G^0$ は $D_4 \times \mathbb{Z}_2$ に同型であり、もう1つの場合においては $G(64,82)$ に同型であり、対応する $G$ の群はそれぞれ位数128および256である。
• 位数4032の群が型 $(2,3,8)$ の球面的生成系をもつことはない、という証明が与えられ、そのような生成系が期待される特異点をもたらす可能性のある家族が除外された。