[論文レビュー] Modeling the maximum edge-weight k-plex partitioning problem

Pedro Martins|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、最大辺重みkプレックス分割（Max-EkPP）問題のための、初めての多項式サイズの整数線形プログラミング（ILP）定式化を提案する。これは、k=1のときの最大辺重みクリーク分割（よく知られたもの）をk>1に拡張したものである。モデルは、コンponentのサイズ制限やコンponent数の上限といったトポロジカル制約を組み込みつつ、線形性とスケーラビリティを維持しており、ベンチマークおよび実世界のグラフ上でその性能が実証されている。

ABSTRACT

Given a sparse undirected graph G with weights on the edges, a k-plex partition of G is a partition of its set of nodes such that each component is a k-plex. A subset of nodes S is a k-plex if the degree of every node in the associated induced subgraph is at least |S|-k. The maximum edge-weight k-plex partitioning (Max-EkPP) problem is to find a k-plex partition with maximum total weight, where the partition's weight is the sum of the weights on the edges in the solution. When k=1, all components in the partition are cliques and the problem becomes the well-known maximum edge-weight clique partitioning (Max-ECP). However, and to our best knowledge, when k>1, the problem has never been modeled. Actually, the literature on the k-plex addresses the search for a single component in an unweighted graph. We propose a polynomial size integer linear programming formulation for the Max-EkPP problem and consider the inclusion of additional topological constraints in the model. These constraints involve lower and upper limit capacity bounds in each component and upper bound constraints on the number of components in the final solution. All these characterizations preserve linearity and the initial polynomial size of the model. We also present computational tests in order to show the models' performance under different parameters' settings. These tests resort to benchmark and real-world graphs.

研究の動機と目的

• k>1の場合の最大辺重みkプレックス分割（Max-EkPP）問題のモデリングにおけるギャップを埋めること。先行研究では、単一の重みなしkプレックスの探索に限定されていた。
• 追加のトポロジカル制約を犠牲にせずに、線形性やスケーラビリティを保ちつつ、多項式サイズの整数線形プログラミング定式化を開発すること。
• コンponentのサイズに下限および上限を設ける、コンponent数の上限を設けるといった実用的制約を組み込むこと。
• ベンチマークおよび実世界のグラフを用いて、さまざまなパrameter設定下でのモデルの性能を評価すること。

提案手法

• ノードをコンponentに割り当てるためのバイナリ変数を用いて、Max-EkPP問題を混合整数線形計画問題（MILP）として定式化する。
• 同じコンponentに割り当てられたノードペアの辺重み寄与を目的関数に定義する。
• 各コンponentが有効なkプレックスを形成することを保証する制約を導入：コンponent内のすべてのノードは、誘導部分グラフにおいて、|S|−k以上の次数を持つ必要がある。
• 容量制約を追加：各コンponentのノード数に下限および上限を設け、コンponent総数に上限を設ける。
• kプレックス制約および容量制約に対して、標準的なモデリング技術（例：big-M法）を用いて線形性を維持する。
• 標準的な最適化ソルバにモデルを実装し、実世界およびベンチマークデータセットを含む多様なグラフインスタンスでテストする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献に類似のモデルが存在しない中で、k>1の場合に多項式サイズのMILP定式化を構築できるか？
• RQ2 コンponentサイズ制限やコンponent数制限といった追加のトポロジカル制約が、モデルの性能および解の質に与える影響は？
• RQ3 k値やグラフ密度が異なる実世界およびベンチマークグラフにおいて、提案モデルのスケーラビリティと性能はどの程度か？
• RQ4 コンponentサイズおよび数の制約を含めることで、基本モデルと比較して目的値および解法時間にどのような影響が生じるか？

主な発見

• 提案されたILP定式化は、k>1の場合のMax-EkPP問題を効果的にモデル化できており、文献においては単一のkプレックス探索に限られていた分野における重要なギャップを埋めている。
• コンponentサイズおよび数の制約を組み込んでも、モデルの多項式サイズおよび線形性が維持され、標準ソルバを用いた効率的な解法が可能である。
• 計算結果から、実世界およびベンチマークインスタンスを含む多様なグラフタイプにおいて、モデルは一貫した収束を示し、堅牢に動作することが示された。
• モデルの性能はk値およびグラフ密度に敏感であり、k値が高くなるとkプレックス制約が複雑化し、解法時間が延長される傾向にある。
• k=1のとき、定式化は既知のMax-ECPモデルに正しく還元され、後退互換性を通じて正しさが検証された。
• 結果から、Exactメソッドを用いたMax-EkPPの解法の可能性が示された。これにより、kプレックスに基づくクラスタリングやネットワーク分割分野における今後の研究の道が開かれた。