[論文レビュー] Modified weak multiplier Hopf algebras

Alfons Van Daele|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、源写像の像 $ B $ の乗法的代数の可逆元 $ u, v $ を用いた、正則弱乗法的ハイプフォールド代数の変形を、条件 $ E(vu \otimes 1)E = E $ の下で導入する。変形されたコプロダクト $ \Delta' = (u \otimes 1)\Delta(\cdot)(v \otimes 1) $ は、新たな正則弱乗法的ハイプフォールド代数を生じさせ、変形された反対作用、源・標的写像、および標準的イデムポテンの明示的公式が与えられる。この構成は、有限次元弱ハイプフォールド代数における既知のねじれを一般化し、新たな例を生み出し、弱乗法的ハイプフォールド代数から派生しない、まったく新しい正則乗法的ハイプフォールドアレブロイドをもたらす。

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a regular weak multiplier Hopf algebra. Denote by $E$ the canonical idempotent of $(A,Δ)$ and by $B$ the image of the source map. Recall that $B$ is a non-degenerate algebra, sitting nicely in the multiplier algebra $M(A)$ of $A$ so that also $M(B)$ can be viewed as a subalgebra of $M(A)$. Assume that $u,v$ are invertible elements in $M(B)$ so that $E(vu\otimes 1)E=E$. This last condition is obviously fulfilled if $u$ and $v$ are each other inverses, but there are also other cases. Now modify $Δ$ and define $Δ'(a)=(u\otimes 1)Δ(a)(v\otimes 1)$ for all $a \in A$. We show in this paper that $(A,Δ')$ is again a regular weak multiplier Hopf algebra and we obtain formulas for the various data of $(A,Δ')$ in terms of the data associated with the original pair $(A,Δ)$. In the case of a finite-dimensional weak Hopf algebra, the above deformation is a special case of the twists as studied by Nikshych and Vainerman. It is known that any regular weak multiplier Hopf algebra gives rise in a natural way to a regular multiplier Hopf algebroid. This result applies to both the original weak multiplier Hopf algebra $(A,Δ)$ and the modified version $(A,Δ')$. However, the same method can be used to associate another regular multiplier Hopf algebroid to the triple $(A,Δ,Δ')$. This turns out to give an example of a regular multiplier Hopf algebroid that does not arise from a regular weak multiplier Hopf algebra although the base algebra is separable Frobenius.

研究の動機と目的

• 弱ハイプフォールド代数におけるねじれの概念を、正則弱乗法的ハイプフォールド代数の文脈に一般化すること。
• 既存の正則弱乗法的ハイプフォールド代数 $ (A, \Delta) $ から、$ B $ を源写像の像とする $ u, v \in M(B) $ を用いた変形により、新たな正則弱乗法的ハイプフォールド代数 $ (A, \Delta') $ を構成すること。
• 元のデータに基づいて、変形された反対作用 $ S' $、源写像 $ \varepsilon_s' $、標的写像 $ \varepsilon_t' $、および標準的イデムポテン $ E' $ の明示的公式を導出すること。
• 条件 $ E(vu \otimes 1)E = E $ の下で、変形されたペア $ (A, \Delta') $ が正則弱乗法的ハイプフォールド代数の性質を保つことを示すこと。この条件は、逆元の条件を一般化する。

提案手法

• 元の代数 $ A $ の各 $ a \in A $ に対して、$ B $ の乗法的代数 $ M(B) $ の可逆元 $ u, v $ を用いて、新しいコプロダクト $ \Delta'(a) = (u \otimes 1)\Delta(a)(v \otimes 1) $ を定義する。
• 条件 $ E(vu \otimes 1)E = E $ が、$ \Delta' $ が適切に定義されたホモモーフィズムであり、弱乗法的ハイプフォールド代数構造の正則性を保つことを保証することを示す。
• 変形された標準的イデムポテンは $ E' = (u \otimes 1)E(v \otimes 1) $ であり、これは変形された標準的写像 $ T_1' $ と $ T_2' $ の像を特徴付ける。
• 標準的イデムポテン $ E $ とコプロダクト $ \Delta $ の性質を用いて、元の反対作用 $ S $、$ u $、$ v $ を用いて、変形された反対作用 $ S' $、源写像 $ \varepsilon_s' $、標的写像 $ \varepsilon_t' $ の明示的表現を導出する。
• 三重組 $ (A, \Delta, \Delta') $ から、正則乗法的ハイプフォールドアレブロイドを構成し、それが正則弱乗法的ハイプフォールド代数から派生しないことを示す。ただし、そのベース代数は分離的フロベニウス代数である。
• 特別な場合として、$ u $ がユニタリで $ v = u^* $ の場合（$ \ast $-代数の場合）、および $ u, v $ が $ M(B) $ の中心にある場合を調査し、このとき $ E' = E $ かつ $ S' = S $ となることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆元 $ u, v \in M(B) $ に対して、変形されたコプロダクト $ \Delta' = (u \otimes 1)\Delta(\cdot)(v \otimes 1) $ が正則弱乗法的ハイプフォールド代数を生じるための条件は何か？
• RQ2 変形された反対作用 $ S' $、源写像 $ \varepsilon_s' $、標的写像 $ \varepsilon_t' $ は、元のデータ $ (A, \Delta) $ とどのように関係しているか？
• RQ3 三重組 $ (A, \Delta, \Delta') $ から正則乗法的ハイプフォールドアレブロイドを構成する場合、ベース代数が分離的フロベニウスであるにもかかわらず、正則弱乗法的ハイプフォールド代数から派生しない例が得られるか？
• RQ4 この変形は、既知の有限次元弱ハイプフォールド代数におけるねじれ構成（特に [N-V] で研究されたもの）とどのように関係しているか？
• RQ5 一般の要素 $ U, V \in M(A \otimes A) $ に対して、$ \Delta'(a) = U\Delta(a)V $ が still 正則弱乗法的ハイプフォールド代数を定義するように、この変形をより一般化することは可能か？

主な発見

• 可逆元 $ u, v \in M(B) $ が存在し、$ E(vu \otimes 1)E = E $ を満たす限り、変形されたペア $ (A, \Delta') $ は正則弱乗法的ハイプフォールド代数である。この条件は、$ u $ と $ v $ が互いに逆元である場合を一般化する。
• 変形された標準的イデムポテンは $ E' = (u \otimes 1)E(v \otimes 1) $ であり、これは変形された標準的写像 $ T_1' $ と $ T_2' $ の像を特徴付ける。これにより、コアソシエーシビティと正則性が保証される。
• 変形された反対作用 $ S' $、源写像 $ \varepsilon_s' $、標的写像 $ \varepsilon_t' $ は、元の反対作用 $ S $、$ u $、$ v $ を用いて明示的に表現され、代数的構造が保存される。
• もし $ u $ と $ v $ が $ M(B) $ の中心にあれば、条件 $ E(vu \otimes 1)E = E $ は $ v = u^{-1} $ を強制する。このとき $ E' = E $ かつ $ S' = S $ となるが、$ u = v = 1 $ でない限り $ \Delta' \neq \Delta $ である。
• 三重組 $ (A, \Delta, \Delta') $ から、正則乗法的ハイプフォールドアレブロイドを構成でき、これは正則弱乗法的ハイプフォールド代数から派生しない。ただし、そのベース代数は分離的フロベニウス代数である。
• この構成は、有限次元弱ハイプフォールド代数における既知のねじれ変形を一般化し、積分が存在しない状況における双対的構成や積分の研究のためのより広い枠組みを示唆する。