[論文レビュー] Modular affine Hecke category and regular centralizer

Roman Bezrukavnikov, Simon Riche|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2022

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数の体上の再帰的群のアフィンフラッグ多様体上のティルティング perverse sheaf の組合せ的記述を、Langlands双対群の普遍中心化子を用いた Soergel bimodule の新しい実現を通じて提供する。自由モノドロミー的 perverse sheaf の圏と Soergel bimodule の圏の同値性を確立し、$√l$-Kazhdan–Lusztig 多項式を用いた、分解不能ティルティング層のキャラクター公式を導出する。これは、古典的 Soergel 理論を正標数へと拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper we provide a "combinatorial" description of the category of tilting perverse sheaves on the affine flag variety of a reductive algebraic group, and its free-monodromic variant, with coefficients in a field of positive characteristic. This provides a replacement for the familiar "Soergel theory" for characteristic-0 coefficients, and the second step in our project towards the construction of an equivalence of categories relating the two natural geometric realizations of the associated affine Hecke algebra in the case of positive-characteristic coefficients.

研究の動機と目的

• アフィンフラッグ多様体に対して、古典的 $∜$-係数を標数 $√l > 0$ の代数的に閉じた体 $∜$ に置き換えた、Soergel 理論の正標数版を構築すること。
• 構成可能層の側をモデル化する、普遍被覆 $×∜\mathrm{Fl}_G$ 上の自由モノドロミー的 perverse sheaf の圏を構成し、モジュラーで正則に分岐する局所 Langlands 対応の側面を捉えること。
• この perverse sheaf の圏と、Langlands 双対群 $G^\vee_\Bbbk$ の普遍中心化子の表現によって実現された Soergel bimodule の圏との同値性を確立すること。
• $√l$-Kazhdan–Lusztig 多項式を用いて、アフィンフラッグ多様体上の分解不能ティルティング perverse sheaf のキャラクター公式を導出することにより、特徴零標数および有限フラッグ多様体における既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 多項式環上の次数付き bimodule による Soergel bimodule の実現ではなく、Langlands 双対群 $G^\vee_\Bbbk$ の普遍中心化子の表現を用いて実現する。これにより、幾何的 Satake 対応とアフィンワイル群の構造を捉える。
• 構成可能層の有界導来圏に対する、零ベキイデアルのプロシステムによる完成として、$×∜\mathrm{Fl}}_G$ 上の自由モノドロミー的 perverse sheaf の圏を構成する。
• 商 $R^\wedge_A / (\mathfrak{m}_A)^n \cdot R^\wedge_A$ の射影極限構成を用いて、完成圏 $\widehat{D}(R^\wedge_A)$ をモデル化し、t 構造と整合性を保つ。
• Verdier および Serre 商の形式的枠組みを用いて、シュタインベルク多様体と完成フラッグ多様体上の導来圏を関係づけ、t 構造を保存する。
• ストラタに沿った $j_!$ および $j_*$ の押し出し関手の t-正確性を活用し、有限型ストラタからの t 構造の条件を完成化された設定へと持ち上げる。
• 混合 perverse sheaf と通常の perverse sheaf を結ぶデグレーディング関手を用いた、$×∜\mathrm{Fl}}_G$ 上のティルティング perverse sheaf の圏と Soergel bimodule の圏との同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的構成が非半単純性のため失敗する正標数係数のアフィンフラッグ多様体に対して、どのように Soergel 理論を拡張できるか？
• RQ2 正標数の体上のアフィンワイル群設定において、Langlands 双対群の幾何を組み込む正しい Soergel bimodule のカテゴリカル実現は何か？
• RQ3 アフィンフラッグ多様体上の分解不能ティルティング perverse sheaf のキャラクター公式は、$√l$-Kazhdan–Lusztig 多項式を用いて組合せ的に記述可能か？
• RQ4 完成導来圏 $×∜\mathrm{Fl}}_G$ 上の層の完成導来圏は、プロ対象および射影極限を用いてどのように記述できるか？また、t 構造とはどのように関係するか？
• RQ5 普遍中心化子は、正標数設定における Soergel bimodule の実現において果たす役割は何か？幾何的 Satake とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、$×∜\mathrm{Fl}}_G$ 上の自由モノドロミー的ティルティング perverse sheaf の圏と、$G^\vee_\Bbbk$ の普遍中心化子の表現によって実現された Soergel bimodule の圏との同値性を構成し、Soergel 理論の正標数版を提供する。
• 分解不能ティルティング perverse sheaf のキャラクターが $√l$-Kazhdan–Lusztig 多項式によって与えられることを証明し、特徴零標数における古典的結果を拡張する。
• 完成導来圏 $×∜\mathrm{Fl}}_G$ は、$R^\wedge_A / (\mathfrak{m}_A)^n$ 上の有限生成加群の有界導来圏の射影極限と同定され、t 構造を保存する。
• 完成圏上の t 構造は、有界導来圏内の対象の射影系を用いて特徴づけられる。$×∜\mathrm{Fl}}_G$ 上の $\mathscr{F} \in {}^p\widehat{D}_{\mathcal{S}}(X\setminus A,\Bbbk)^{\leq 0}$ であるための必要十分条件は、${}^pD^b_{\mathcal{S}}(X,\Bbbk)^{\leq 0}$ 内の対象の射影極限と同型であることである。
• 混合と通常の perverse sheaf 間のデグレーディング関手は、完成化プロセスを介して構成され、両者の圏が同じ Soergel 理論的枠組みを通じて関係していることを示す。
• これらの結果は、モジュラーで正則に分岐する局所 Langlands 同値の構成への基盤を提供し、$×∜\mathrm{Fl}}_G$ 上の Iwahori-不変 perverse sheaf と $G^\vee_\Bbbk$ のシュタインベルク多様体上の連続層との関係を確立する。