[論文レビュー] Modular affine Hecke category and regular unipotent centralizer

Roman Bezrukavnikov, Simon Riche+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数の体上の再帰的群における正規ユニポテンツ元の中心化群の表現の圏と、ラングランズ双対群のアフィンフラッグ多様体上のIwahori-equivariantな perverse sheaf のある商圏との間の幾何的同値性を確立する。この結果は、Sergevの Endomorphismensatz のモジュラー版であり、perverser sheaves のSerre商と、零尖点コーンおよび中心化構造の幾何と結びついている。

ABSTRACT

In this paper we provide, under some mild explicit assumptions, a geometric description of the category of representations of the centralizer of a regular unipotent element in a reductive algebraic group in terms of perverse sheaves on the Langlands dual affine flag variety. This equivalence is suggested and motivated by the "geometric Langlands" philosophy, and is used in later work to construct equivalences of categories relating various geometric incarnations of the affine Hecke algebra of the given reductive group.

研究の動機と目的

• 正標数におけるアフィンヘッケ代数の幾何的ラングランズ同値性のモジュラー版を確立すること。
• ラングランズ双対群のアフィンフラッグ多様体上の perverse sheaf を用いた、正規ユニポテンツ元の中心化群の表現の圏の幾何的記述を提供すること。
• Sergevの Struktursatz に類似した、可解層とコherent層の導来圏の間の将来の同値性の土台を築くこと。
• Iwahori-equivariant な perverse sheaf を用いて、幾何的サタケ同値性と Sergev の Endomorphismensatz をモジュラー設定に一般化すること。

提案手法

• アフィンフラッグ多様体 $\mathrm{Fl}_G$ 上の Iwahori-equivariant な perverse sheaf の圏 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ を、正次元の台を持つ単純対象を商することで、Serre 商圏として構成する。
• 畳み込みの零番目の perverse 共通ホモロジーを用いて、$\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ 上にモノイダル構造 $\star^{0}_{\mathrm{Iw}}$ を定義する。
• 幾何的サタケ同値性を用いて、$G^\vee_{\Bbbk}$-加群と $\mathrm{Gr}_G$-層を関連付け、中心化群 $Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})$ が中心 $Z(G^\vee_{\Bbbk})$ を含む部分群として特定する。
• 代数同型 $\operatorname{End}_{\mathsf{P}^{0}_{\mathrm{Iw}}}(\mathscr{Z}^{0}(V)) \cong \operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})}(V)$ を確立し、tilting 加群の像の自己準同型代数が、その $Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})$-不変部分空間の自己準同型代数に同型であることを示す。
• $\mathscr{O}(\mathcal{N}_{G^\vee_{\Bbbk}})$ の座標環に $\mathbb{G}_m$-拡大作用によって誘導される次数を用いて、$V$ が非分解的であるとき $\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbbk}}(\mathsf{u})}(V)$ が局所環であることを示し、$\mathscr{Z}^{0}(V)$ が非分解的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンヘッケ代数の幾何的ラングランズ同値性は、正標数の係数へ拡張可能か？
• RQ2 正規ユニポテンツ元の中心化群の表現の圏は、ラングランズ双対群のアフィンフラッグ多様体上の perverse sheaf を用いて幾何的に実現可能か？
• RQ3 提案された函手による tilting 加群の像の自己準同型代数は、モジュールが非分解的であるときにも局所的のままであるか？
• RQ4 中心 $Z(G^\vee_{\Bbb{k}})$ の作用は、中心化群 $Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$ の構造とどのように関係するか？
• RQ5 圏 $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ の構造を用いて、モジュラー設定における可解層とcoherent層の導来圏の完全な同値性を構成可能か？

主な発見

• $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ すなわち、正次元の台を持つ部分を除いた Iwahori-equivariant な perverse sheaf の圏は、畳み込みの perverse 共通ホモロジーを用いて、well-defined なモノイダル構造 $\star^{0}_{\mathrm{Iw}}$ を持つ。
• $\mathsf{P}_{\mathrm{Iw}}^{0}$ とラングランズ双対群における正規ユニポテンツ元の中心化群 $Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$ の有限次元表現の圏 $\mathrm{Rep}(Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u}))$ の間にはモノイダル同値性が存在する。
• 自己準同型代数 $\operatorname{End}_{\mathsf{P}^{0}_{\mathrm{Iw}}}(\mathscr{Z}^{0}(V))$ は $\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})}(V)$ に同型であり、幾何的構造と表現論的構造との間の重要な接続を確立する。
• 任意の有限次元 tilting $G^\vee_{\Bbb{k}}$-加群 $V$ に対して、$Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})$-不変部分空間の次元は、零重量空間 $V_0$ の次元に等しく、$V^{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})} = V^H$ が成り立つ。ここで $H$ は $Z(G^\vee_{\Bbb{k}})$ を含む。
• $V$ が非分解的 tilting $G^\vee_{\Bbb{k}}$-加群であるとき、$\mathscr{Z}^{0}(V)$ は非分解的である。これは、$\mathscr{O}(\mathcal{N}_{G^\vee_{\Bbb{k}}})$ に誘導される $\mathbb{G}_m$-次数により、$\operatorname{End}_{Z_{G^\vee_{\Bbb{k}}}(\mathsf{u})}(V)$ が局所環であるためである。