[論文レビュー] Modular affine vertex algebras and baby Wakimoto modules

Tomoyuki Arakawa, Weiqiang Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、正標数におけるワキモト代数のモジュラー版としてベビー・ワキモト加群を導入し、アフィン頂点代数の $p$-中心を保存するワキモト＝フェイジン＝フレンケル準同型が成り立つことを確立した。主な結果は、最高重量 $-\rho$ のベビー・ワキモト加群が完全に可約であることであり、これはマチューのモジュラーアフィンリー代数の臨界レベルにおけるキャラクター公式の頂点代数的解釈を提供する。

ABSTRACT

We develop some basic properties such as $p$-centers of affine vertex algebras and free field vertex algebras in prime characteristic. We show that the Wakimoto-Feigin-Frenkel homomorphism preserves the $p$-centers by providing explicit formulas. This allows us to formulate the notion of baby Wakimoto modules, which in particular provides an interpretation in the context of modular vertex algebras for Mathieu's irreducible character formula of modular affine Lie algebras at the critical level.

研究の動機と目的

• 標数が素数であるモジュラーアフィン頂点代数および自由場頂点代数の $p$-中心の理論を構築すること。
• ワキモト＝フェイジン＝フレンケル準同型が $p$-中心を保存することを示し、ベビー・ワキモト加群の構成を可能にすること。
• マチューの臨界レベルにおけるモジュラーアフィンリー代数の完全可約キャラクター公式を頂点代数表現論の言葉で再解釈すること。
• 頂点代数的実現として、完全可約加群 $\mathfrak{l}(-\rho)$ がベビー・ワキモト加群として実現されることを示すこと。

提案手法

• 正標数における $p$ 乗写像を用いて、アフィン頂点代数および自由場頂点代数の $p$-中心を構成する。
• ワキモト＝フェイジン＝フレンケル準同型をアフィン頂点代数の $p$-中心に制限したものの明示的計算を行う。
• ワキモト＝フェイジン＝フレンケル準同型を $p$-中心要素に制限した像として、ベビー・ワキモト加群を定義する。
• キャラクター比較を用いて、最高重量 $-\rho$ のベビー・ワキモト加群の可約性を証明する。
• シュタイナートのテンソル積定理を用いて、$\mathfrak{l}(-\rho)$ と $\mathfrak{l}((p-1)\rho)$ を $\mathfrak{g}$-加群として関連付ける。
• モジュラー表現論のために、コスタント＝ガーランドの $\mathbb{Z}$-形式を用いて $U = \mathbb{K} \otimes_{\mathbb{Z}} U_{\mathbb{Z}}$ を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数において、ワキモト＝フェイジン＝フレンケル準同型はアフィン頂点代数の $p$-中心を保存するか？
• RQ2 $p$-中心の整合性を通じて、ベビー・ワキモト加群はワキモト加群のモジュラー版として定義可能か？
• RQ3 最高重量 $-\rho$ のベビー・ワキモト加群は $\mathfrak{g}$-加群として完全可約か？
• RQ4 ベビー・ワキモト加群の可約性は、$\mathfrak{l}(-\rho)$ に対するマチューのキャラクター公式とどのように関係するか？
• RQ5 正標数における頂点代数 $V^{\kappa_{c}}(\mathfrak{g})$ の中心の構造は何か？

主な発見

• ワキモト＝フェイジン＝フレンケル準同型はアフィン頂点代数の $p$-中心を保存し、制限に対する明示的公式が与えられている。
• 最高重量 $-\rho$ のベビー・ワキモト加群 $\mathfrak{w}(-\rho)$ は $\mathfrak{g}$-加群として完全可約であり、$\mathfrak{l}(-\rho)$ に同型である。
• $\mathfrak{w}(-\rho)$ のキャラクターは $\text{ch }\mathfrak{w}(-\rho) = e^{-\rho} \prod_{\alpha \in \Delta_{+}^{\rm re}} \frac{1 - e^{-p\alpha}}{1 - e^{-\alpha}}$ と与えられ、マチューの公式と一致する。
• $\mathfrak{w}(-\rho)$ の可約性は、$\mathfrak{w}(-\rho) \to \mathfrak{l}(-\rho)$ の全射準同型とキャラクター比較により導かれる。
• $\mathfrak{l}((p-1)\rho)$ のキャラクター公式は $\text{ch }\mathfrak{l}((p-1)\rho) = e^{(p-1)\rho} \prod_{\alpha \in \Delta_{+}^{\rm re}} \frac{1 - e^{-p\alpha}}{1 - e^{-\alpha}}$ であり、シュタイナートのテンソル積定理により $-\rho$ の場合と同値である。
• $p$-中心と状態-場対応の頂点代数における整合性は、単純な方法で成り立つことが、命題 2.6 で示されている。