[論文レビュー] Modular Exercises for Four-Point Blocks -- I

Miranda C. N. Cheng, Terry Gannon+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 71被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、有理的頂点作用素代数における4点のチャーラルブロックが、外部のオペレーターの対称性に応じて $Γ(2)$, $Γ_0(2)$, または $Γ₆(2)$ の部分群においてベクトル値モジュラー形式として変換することを確立している。さらに、完全な4点相関関数がモジュラー不変であり、交差対称性がモジュラー対称性と等価であることが示され、チャーラルブロックおよび融合係数を制約するためのモジュラー形式技法の利用が可能になる。

ABSTRACT

The well-known modular property of the torus characters and torus partition functions of (rational) vertex operator algebras (VOAs) and 2d conformal field theories (CFTs) has been an invaluable tool for studying this class of theories. In this work we prove that sphere four-point chiral blocks of rational VOAs are vector-valued modular forms for the groups $Γ(2)$, $Γ_0(2)$, or $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$. Moreover, we prove that the four-point correlators, combining the holomorphic and anti-holomorphic chiral blocks, are modular invariant. In particular, in this language the crossing symmetries are simply modular symmetries. This gives the possibility of exploiting the available techniques and knowledge about modular forms to determine or constrain the physically interesting quantities such as chiral blocks and fusion coefficients, which we illustrate with a few examples. We also highlight the existence of a sphere-torus correspondence equating the sphere quantities of certain theories ${\mathcal T}_s$ with the torus quantities of another family of theories ${\mathcal T}_t$. A companion paper will delve into more examples and explore more systematically this sphere-torus duality.

研究の動機と目的

• 有理的VOAおよび2次元CFTにおける4点チャーラルブロックの明確なモジュラー構造を確立すること。
• チャーラルブロックが外部オペレーターの退化度に応じて $Γ(2)$, $Γ_0(2)$, または $Γ₆(2)$ においてベクトル値モジュラー形式として変換することを示すこと。
• 完全な物理的4点相関関数がモジュラー不変であり、交差対称性がモジュラー変換と等価であることを示すこと。
• チャーラルブロックおよび融合係数を制約するためのモジュラー形式技法を体系的に適用するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 外部オペレーターの同一性の数に応じて、$Γ(2)$, $Γ_0(2)$, または $Γ₆(2)$ において変換するコアブロック（ conformal symmetry 要素を除いたチャーラルブロック）がベクトル値モジュラー形式として作用することを示した。
• 穴あき構成に適した $T$ および $S$ 行列を用いて、コアブロックのモジュラー群表現を明示的に構成した。
• 完全な物理的相関関数は、正則および非正則なベクトル値モジュラー形式を組み合わせて非正則なモジュラー不変関数として構成された。
• モジュラー形式を構成するために、Rademacher和、Riemann-Hilbert問題、およびモジュラー線形微分方程式（MLDE）の技法が用いられた。
• 球面とトーラスの対応関係が提案され、ある理論の球面4点データが別の理論のトーラスデータに対応することを示した。
• 外部オペレーターの置換が生じる場合の一般化は、$Γ₆(2)$ への誘導表現を用いて行われた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的VOAにおける4点チャーラルブロックは、どのモジュラー群の下で変換するか？
• RQ2 外部オペレーターの対称性に応じて、チャーラルブロックの変換を支配する正確なモジュラー群（例：$Γ(2)$, $Γ_0(2)$, または $Γ₆(2)$）は何か？
• RQ3 4点関数の交差対称性は、モジュラー形式の文脈においてモジュラー対称性として解釈可能か？
• RQ4 CFTにおけるチャーラルブロックおよび融合係数を制約するため、モジュラー形式技法を体系的にどのように適用できるか？
• RQ5 異なる理論の球面4点データとトーラスデータの間に双対性があるか？

主な発見

• 有理的VOAにおける4点関数のチャーラルブロックは、外部オペレーターの退化度に応じて $Γ(2)$, $Γ_0(2)$, または $Γ₆(2)$ においてベクトル値モジュラー形式である。
• 正則および非正則ブロックを組み合わせた完全な4点相関関数はモジュラー不変であり、交差対称性がモジュラー変換と等価である。
• コアブロックは $P\u0393_0(2)$ または $P\u0393(2)$ に沿って変換し、誘導表現を用いて $Γ₆(2)$-共変形式に再表現可能である。
• モジュラー群表現の $S$ 行列はVerlindeの公式を介して融合係数を計算でき、モジュラーデータと融合則を結びつける。
• 球面-トーラス対応関係により、理論 $\mathcal{T}_s$ の球面量が別の理論 $\mathcal{T}_t$ のトーラス量と等価であることが示され、深い双対性を示唆する。
• MLDE、Rademacher和、Riemann-Hilbert手法によるモジュラー形式の明示的構成が、チャーラルブロックの計算に有効であることが示された。