[論文レビュー] Modular Forms and Elliptic Genera for ALE Spaces

Tohru Eguchi, Yuji Sugawara+1 more|ArXiv.org|Mar 4, 2008

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、特に ALE 空間に対して、楕円的指標を用いてホロモーフィックなモジュラー不変量を構成することにより、非コンパactsなカーラビ＝ヤウ conformal field theory における連続的および離散的表現の結合を提案する。この手法は、新規のシータ関数の恒等式に依拠しており、K3 表面の非コンパクト化極限と整合する結果をもたらし、N=4 スーパーモジュラー特性の高レベルにおけるモジュラー性を明らかにする。

ABSTRACT

When we describe string propagation on non-compact or singular Calabi-Yau manifolds by CFT, continuous as well as discrete representations appear in the theory. These representations mix in an intricate way under the modular transformations. In this article, we propose a method of combining discrete and continuous representations so that the resulting combinations have a simpler modular behavior and can be used as conformal blocks of the theory. We compute elliptic genera of ALE spaces and obtain results which agree with those suggested from the decompactification of K3 surface. Consistency of our approach is assured by some remarkable identity of theta functions. We include in the appendix some new materials on the representation theory of ${\cal N}=4$ superconformal algebra.

研究の動機と目的

• 非コンパクトなカーラビ＝ヤウ多様体、特に連続的および離散的表現の混合により良好なモジュラー性を示さない ALE 空間に対して、ホロモーフィックなモジュラー不変量を構築すること。
• ALE 空間の楕円的指標を計算し、K3 表面の非コンパクト化極限と整合することを確認すること。
• リウヴィル型 CFT における連続的および離散的表現がモジュラー共変な組み合わせに統合されるフレームワークを確立すること。
• N=4 スーパーモジュラー理論におけるモジュラー不変性に不可欠な非自明なシータ関数の恒等式を証明・応用すること。
• N=4 スーパーモジュラー代数の高レベルにおける特性式を導出し、そのモジュラー変換を分析すること。

提案手法

• キャラクター関数とモジュラー S 変換を介して、開弦と閉弦チャンネルを関連付ける conformal bootstrap アプローチを用いる。
• N=4 スーパーモジュラー特性に S 変換を適用し、その結果を連続的表現と離散的 ℓ=k 項に分解する。
• SU(2) のレベル k−1 における特性のモジュラー性とシータ関数を用いて、質量ゼロの N=4 特性のモジュラー変換を表現する。
• 複素指数関数と双曲線関数を含む複素積分として、連続的および離散的スペクトルの混合を符号化するモジュラー S 行列係数 S(ℓ|p′,ℓ′) を導出する。
• N=4 スーパーモジュラー代数の高レベルにおける表現論的フレームワークを導入し、特性式とそのモジュラー性を含む。
• D. ザジエールによって証明された重要なシータ関数の恒等式に依拠しており、これが構築された不変量のモジュラー不変性の根拠をなしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトなカーラビ＝ヤウ CFT における連続的および離散的表現は、どのようにしてモジュラー不変な分配関数を生成するか？
• RQ2 ALE 空間の楕円的指標は何か？ また、K3 表面の非コンパクト化極限と一致するか？
• RQ3 N=4 スーパーモジュラー特性はモジュラー S duality に対してどのように変換され、その結果得られるスペクトルの構造はいかなるものか？
• RQ4 非自明なシータ関数の恒等式は、リウヴィル型 CFT におけるモジュラー不変性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 高レベルにおける N=4 特性式は体系的に導出可能であり、そのモジュラー性は計算可能か？

主な発見

• 提案手法による ALE 空間の楕円的指標は、K3 表面の非コンパクト化極限と一致し、既知の幾何的期待と整合することが確認された。
• N=4 質量ゼロ特性のモジュラー S 変換は、連続的表現と単一の離散的 ℓ=k 表現のみを生成し、係数は (−1)ℓ(k−ℓ+1) である。
• モジュラー S 行列係数 S(ℓ|p′,ℓ′) は、双曲線関数とレベル k−1 における SU(2) モジュラー S 行列を含む複素積分として導出された。
• 本手法は、Zagier によって証明された非自明なシータ関数の恒等式に依拠しており、これが構築された分配関数のモジュラー不変性の根拠となっている。
• 高レベルにおける N=4 特性式は、S duality に対して連続的積分と有限個の離散的寄与に分解され、明示的な式が与えられた。
• 本フレームワークは、連続的および離散的スペクトルを一つのモジュラー共変な対象に統合することで、非最小的かつ非コンパクトな CFT におけるモジュラー異常を効果的に解消した。