[論文レビュー] Modular forms in the spectral action of Bianchi IX gravitational instantons

Wentao Fan, Farzad Fathizadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$SU(2)$-不変な Bianchi IX 重力インスタントンのスペクトル作用が、深いつながりを持つ算術的構造を示すことが確立されている。各 Seeley-de Witt係数 $\tilde{a}_{2n}$ は、重み2のベクトル値または通常のモジュラー形式として現れる。インスタントンを特徴関数を用いたテータ関数でパラメータ化し、ディラック作用素の等スペクトル性を応用することで、有理数パラメータの軌道に沿った和が、重み14のモジュラー形式空間（cusp形式 $\Delta$ を乗じたもの）または重み18のモジュラー形式空間（$G_4^4$ を乗じたもの）に属する項を生じることを示し、スペクトル幾何学と古典的モジュラー形式を結びつける。

ABSTRACT

Following our result on rationality of the spectral action for Bianchi type-IX cosmological models, which suggests the existence of a rich arithmetic structure in the action, we study the arithmetic and modular properties of the action for an especially interesting family of metrics, namely $SU(2)$-invariant Bianchi IX gravitational instantons. A variant of the previous rationality result is first presented for a time-dependent conformal perturbation of the triaxial Bianchi IX metric which serves as a general form of Bianchi IX gravitational instantons. By exploiting a parametrization of the gravitational instantons in terms of theta functions with characteristics, we show that each Seeley-de Witt coefficient $ ilde a_{2n}$ appearing in the expansion of their spectral action gives rise to vector-valued and ordinary modular functions of weight 2. We investigate the modular properties of the first three terms $ ilde a_0$, $ ilde a_2$ and $ ilde a_4$ by preforming direct calculations. This guides us to provide spectral arguments for general terms $ ilde a_{2n}$, which are based on isospectrality of the involved Dirac operators. Special attention is paid to the relation of the new modular functions with well-known modular forms by studying explicitly two different cases of metrics with pairs of rational parameters that belong to two different general families. In the first case, it is shown that by running a summation over a finite orbit of the rational parameters, up to multiplication by the cusp form $Δ$ of weight 12, each term $ ilde a_{2n}$ lands in the 1-dimensional linear space of modular forms of weight 14. In the second case, it is proved that, after a summation over a finite orbit of the parameters and multiplication by $G_4^4$, where $G_4$ is the Eisenstein series of weight 4, each $ ilde a_{2n}$ lands in the 1-dimensional linear space of cusp forms of weight 18.

研究の動機と目的

• SU(2)-不変な Bianchi IX 重力インスタントンにおけるスペクトル作用の算術的およびモジュラー構造を調査すること。
• スペクトル作用展開における Seeley-de Witt係数 $\tilde{a}_{2n}$ がモジュラー形式またはベクトル値モジュラー形式であるかどうかを特定すること。
• 有理数パラメータの有限軌道に沿った和を用いて、スペクトル係数と $\Delta$ や $G_4^4$ などの古典的モジュラー形式との明示的関係を確立すること。
• 特徴関数を用いたパラメータ化を活用することで、スペクトル作用の有理数性を、より豊かなモジュラー枠組みへと拡張すること。

提案手法

• $SU(2)$-不変な Bianchi IX 重力インスタントンを、Painlevé VI 方程式および Halphen 系の解から導かれる特徴関数付きテータ関数でパラメータ化する。
• 三軸性 Bianchi IX 度様の時間依存的共形摂動を用いて、Weylテンソルの自己双対性を満たす Einstein 度様を構成し、重力インスタントンを定義する。
• これらのインスタントン度様におけるディラック作用素に非可換トレースおよび擬微分作用素計算を適用し、Seeley-de Witt係数 $\tilde{a}_{2n}$ を計算する。
• $\tilde{D}^2[q_0]$ と $-q_0^{-2}\tilde{D}^2[1/q_0]$、および $\tilde{D}^2[q_0]$ と $\tilde{D}^2[q_0 - i]$ の間の等スペクトル性を確立し、係数のモジュラー変換性を導出する。
• $\tilde{a}_0$、$\tilde{a}_2$、$\tilde{a}_4$ の直接計算により、モジュラー変換のパターンを特定し、スペクトル恒等式を用いて $\tilde{a}_{2n}$ への一般化を行う。
• 有理数パラメータ $p,q$ の有限軌道に沿った和を適用することで、$\tilde{a}_{2n}$ が cusp 形式 $\Delta$（重み12）を乗じた後、重み14のモジュラー形式空間（1次元）に属し、$G_4^4$ を乗じた後は、重み18のcusp形式空間（1次元）に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bianchi IX 重力インスタントンにおけるスペクトル作用の Seeley-de Witt係数 $\tilde{a}_{2n}$ は、モジュラー不変性を示すか？
• RQ2 スペクトル係数はベクトル値または通常のモジュラー形式として表現可能であり、その重みは何か？
• RQ3 スペクトル係数と $\Delta$ や $G_4^4$ などの古典的モジュラー形式との明示的関係は何か？
• RQ4 有理数パラメータ $p,q$ の有限軌道に沿った和は、スペクトル係数を既知のモジュラー形式空間へとどのように変換するか？
• RQ5 ディラック作用素の等スペクトル性と特徴関数付きテータ関数によるパラメータ化は、モジュラー構造を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 最初の3つの Seeley-de Witt係数 $\tilde{a}_0$、$\tilde{a}_2$、$\tilde{a}_4$ は、直接計算により重み2のベクトル値および通常のモジュラー形式であることが示された。
• 非ゼロの宇宙定数を持つ2パラメータ族の度様では、有理数パラメータの有限軌道に沿った和を取ることで、$\tilde{a}_{2n}$ が cusp 形式 $\Delta$（重み12）を乗じた後、重み14のモジュラー形式空間（1次元）に属することが分かった。
• 宇宙定数がゼロの1パラメータ族では、有理数パラメータの有限軌道に沿った和を取ることで、$\tilde{a}_{2n}$ が $G_4^4$ を乗じた後、重み18のcusp形式空間（1次元）に属することが分かった。ここで $G_4$ は重み4のイーゼンスタイン級数である。
• スペクトル作用係数 $\tilde{a}_{2n}$ がモジュラー形式の有理数線形結合として表現されることを示し、スペクトル展開における算術的構造を確認した。
• $\tilde{D}^2[q_0]$ と $-q_0^{-2}\tilde{D}^2[1/q_0]$ の間の等スペクトル性は、係数のモジュラー変換性にスペクトル的根拠を与える。
• 重力インスタントンを特徴関数付きテータ関数でパラメータ化することで、スペクトル作用におけるモジュラー関数の明示的実現が可能となり、数論と量子重力の間のつながりが確立された。