[論文レビュー] Modular Graph Functions

Eric D’Hoker|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 38被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、 genus-one スーパーヒューリスティック振幅における非正則なモジュラー形式として現れるモジュラー図形関数を理解するための枠組みとして、単値的楕円型多重多価対数関数を導入する。モジュラー図形関数が、楕円曲線の単位元における単値的楕円型多重ゼータ値に等しく、有理数係数を持つことが示され、それらの複雑な代数的関係が楕円型多価対数関数の恒等式に起因することを明らかにする。主な結果は、これらの関数を既知の特殊値へ体系的に還元できることであり、特に単値的多重ゼータ値の有理数倍を含む。

ABSTRACT

In earlier work we studied features of non-holomorphic modular functions associated with Feynman graphs for a conformal scalar field theory on a two-dimensional torus with zero external momenta at all vertices. Such functions, which we will refer to as modular graph functions, arise, for example, in the low energy expansion of genus-one Type II superstring amplitudes. We here introduce a class of single-valued elliptic multiple polylogarithms, which are defined as elliptic functions associated with Feynman graphs with vanishing external momenta at all but two vertices. These functions depend on a coordinate, $ζ$, on the elliptic curve and reduce to modular graph functions when $ζ$ is set equal to $1$. We demonstrate that these single-valued elliptic multiple polylogarithms are linear combinations of multiple polylogarithms, and that modular graph functions are sums of single-valued elliptic multiple polylogarithms evaluated at the identity of the elliptic curve, in both cases with rational coefficients. This insight suggests the many interrelations between modular graph functions (a few of which were established in earlier papers) may be obtained as a consequence of identities involving multiple polylogarithms, and explains an earlier observation that the coefficients of the Laurent polynomial at the cusp are given by rational numbers times single-valued multiple zeta values.

研究の動機と目的

• genus-one スーパーヒューリスティック振幅に現れるモジュラー図形関数を統一的に扱う枠組みを確立すること。
• 楕円曲線における単値的楕円型多重多価対数関数を、単値的多重多価対数関数の一般化として導入すること。
• モジュラー図形関数が、楕円曲線の単位元 ζ = 1 におけるこれらの楕円関数の特別値に等しいことを示すこと。
• モジュラー図形関数間の代数的関係が、楕円型多価対数関数の恒等式の結果であることを説明すること。
• 尖点におけるローラン展開の係数が、単値的多重ゼータ値の有理数倍であることを示すこと。

提案手法

• 外部運動量が2頂点を除いてすべて0であるフェニマン図に対応する、座標 ζ を持つ楕円曲線上の関数として、単値的楕円型多重多価対数関数を定義する。
• モジュラー図形関数を、ζ = 1 におけるこれらの楕円関数の評価として表現し、直接的な対応関係を確立する。
• 部分分数恒等式と積分表現を用いて、制約付き多重和を多重多価対数関数の組み合わせに還元する。
• HyperIntパッケージを用いて還元と恒等式を検証し、特に C1,1,1(q) 関数に対して有効であることを確認する。
• Eichler積分構成と共変微分を用いて、関数をEisenstein級数と正則モジュラー形式に関連付ける。
• シャッフル代数構造を活用して、多重和を多重多価対数関数の形に表現し、体系的な評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー図形関数は、トーラス上の楕円型多価対数的構造とどのように体系的に関係するか？
• RQ2 モジュラー図形関数と単値的楕円型多重多価対数関数との間の明確な代数的関係は何か？
• RQ3 モジュラー図形関数の尖点におけるローラン展開の係数が、なぜ単値的多重ゼータ値の有理数倍になるのか？
• RQ4 モジュラー図形関数間に存在する複雑な代数的恒等式は、楕円型多価対数関数の恒等式から導けるか？
• RQ5 正則モジュラー形式のEichler積分は、これらの関数の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• C1,1,1(q) モジュラー図形関数は、q 展開における φ0(q) = 0 および φ1(q) = 0 を確認することで、正確に重み6のEisenstein級数 E3(q) に ζ(3) を加えたものに等しいことが示された。
• モジュラー図形関数が、ζ = 1 における単値的楕円型多重ゼータ値の有理数線形結合として表現されることを示した。
• 部分分数恒等式を用いた多重和 La,b;c(x, y) の多重多価対数関数への還元は、HyperIntパッケージによる検証で確認された。
• 関数 C1,1,1(q) は、多重多価対数関数の実部とEichler積分の和として表現され、G6(q) の2つのEichler積分の差がモジュラー関数を与える。
• x = y = 1 における恒等式 L1,1;1(x, y) = Li1,2(y/x, x) + Li1,2(x/y, y) は、Eulerの関係式 ζ(1,2) = ζ(3) を再現し、既知のゼータ恒等式と整合していることを確認した。
• 本稿では、genus-one 振幅の低エネルギー展開における係数が、単値的多重ゼータ値の有理数倍であることを確立し、楕円型多価対数関数の恒等式によってそれらの代数的構造を説明した。