[論文レビュー] Modular Index Invariants of Mumford Curves

Alan L. Carey, Marcolli, Matilde+1 more|ArXiv.org|May 19, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、グラフC*-代数のモジュラーインデックス不変量とムーファード曲線の不変量の間の対応関係を、グラフ重みとKMS状態を用いて確立する。ムーファード曲線上のシータ関数は、スペクトルフローを介して得られる非一様グラフ重みから生じ、整数値をとる仮想グラフ重みが自動形式的データおよびシータ関数のノルムを符号化する。

ABSTRACT

We continue an investigation initiated by Consani-Marcolli of the relation between the algebraic geometry of p-adic Mumford curves and the noncommutative geometry of graph C*-algebras associated to the action of the uniformizing p-adic Schottky group on the Bruhat-Tits tree. We reconstruct invariants of Mumford curves related to valuations of generators of the associated Schottky group, by developing a graphical theory for KMS weights on the associated graph C*-algebra, and using modular index theory for KMS weights. We give explicit examples of the construction of graph weights for low genus Mumford curves. We then show that the theta functions of Mumford curves, and the induced currents on the Bruhat-Tits tree, define functions that generalize the graph weights. We show that such inhomogeneous graph weights can be constructed from spectral flows, and that one can reconstruct theta functions from such graphical data.

研究の動機と目的

• p進シュォットキー群に付随するグラフC*-代数の非可換幾何的技法を、複素シュォットキー一様化からp進ムーファード曲線へ拡張すること。
• 無限グラフ上のモジュラーインデックス理論を用いて、ムーファード曲線の代数的不変量（特にシュォットキー群生成子の移動長）を再構成すること。
• スペクトルフローとKMS状態から得られる非一様グラフ重みと統合されたムーファード曲線上のシータ関数を統一すること。
• ブルハット–ティツ木の商に於ける有理数および整数値をとる仮想グラフ重みが、自動形式的データおよびシータ関数のノルムを捉えていることを示すこと。

提案手法

• ブルハット–ティツ木 $\Delta_{\mathbb{K}}$ とp進シュォットキー群 $\Gamma$ の商グラフ $\Delta_{\mathbb{K}}/\Gamma$ 上にグラフ重みを構成する。
• これらの重みに付随するグラフC*-代数におけるKMS状態を用い、タイプIII幾何におけるモジュラーインデックス理論を活用する。
• 運動量フローに従う非一様グラフ重み方程式を導入し、スペクトルフロー構成から得られる解を導出する。
• 固定点代数のzhyvot分解を適用して、$\chi_k(e) = \lambda(e)(\alpha_{k-1}(r(e)) - \alpha_k(r(e)))$ を通じて標準的な非一様重みを生成する。
• 重み $\lambda(e) = N_e^{-1}$ を持つ重みのペアから、$\hat{G} = \hat{G}_1 - \hat{G}_2$ として有理数仮想グラフ重みを構成し、zhyvot および木において整数値をとることを保証する。
• 得られた仮想重みをブルハット–ティツ木上の電流と同一視し、$\log_q \|f\|_{\Lambda^{-1}(v)} = \tilde{G}(v)$ を通じて $\Gamma$-不変なシータ関数と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフC*-代数のモジュラーインデックス不変量は、ムーファード曲線のシュォットキー群生成子の移動長を再構成できるか？
• RQ2 無限ブルハット–ティツ木の商上の非一様グラフ重みは、ムーファード曲線のシータ関数とどのように関係するか？
• RQ3 スペクトルフロー構成から、シータ関数の自動形式的データを符号化する整数値をとる仮想グラフ重みを得られるか？
• RQ4 KMS状態および非可換幾何の文脈において、ブルハット–ティツ木上の電流とグラフ重みの間の明確な対応関係は何か？
• RQ5 固定点代数のzhyvot分解は、標準的な非一様グラフ重みの構成をどのように促進するか？

主な発見

• グラフC*-代数に付随する、$\Delta_{\mathbb{K}}/\Gamma$ 上の忠実なグラフ重みは、その関連するグラフC*-代数上のゲージ不変で、ノルム下半連続かつ忠実な半有限汎関数に対応する。
• グラフC*-代数のモジュラーインデックス不変量は、シュォットキー群生成子の移動長を回復し、代数的曲線不変量の非可換再構成を提供する。
• 非一様グラフ重みは、スペクトルフロー構成から自然に生じ、$\chi(e) = N_e^{-1}(\alpha(s(e)) - \alpha(r(e)))$ が重み方程式 $\hat{G}(v) + d\chi(v) = \sum_{s(e)=v} N_e^{-1} \hat{G}(r(e))$ を満たす。
• 有理数仮想グラフ重み $\hat{G} = \hat{G}_1 - \hat{G}_2$ は、$\hat{G}(r(e)) = \hat{G}(s(e))$ を用いてzhyvot $\Delta'_{\Gamma}/\Gamma$ から無限木に沿って拡張することで、整数値をとるようにできる。
• あるムーファード曲線上のシータ関数 $f$ が存在し、$\log_q \|f\|_{\Lambda^{-1}(v)} = \tilde{G}(v)$ を満たす。ここで $\tilde{G}(v) = \log_q |c(\gamma)| + \hat{G}(v)$ は基本領域上で成り立ち、$f(\gamma z) = c(\gamma)f(z)$ を満たす。
• 電流 $\mu(e) = \hat{G}(r(e)) - \hat{G}(s(e))$ は、$\log_q \|f\|_{\Lambda^{-1}(r(e))} - \log_q \|f\|_{\Lambda^{-1}(s(e))}$ に一致し、グラフ重みとシータ関数の間の直接的な関係を確立する。