[論文レビュー] Moduli of Open Stable Maps to a Homogeneous Space

Amitai Netser Zernik|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、実同次元空間 X 内のラグランジュ部分多様体 L に沿った境界を持つ安定な正則的円板のモジュライ空間を、閉じた安定写像のモジュライ空間における幾何的構成（吹き上げ、固定点集合）を用いて、角を持つコンpaktoな Gk,l-軌道的多様体として構成する。主な結果は、実同次元対 (X,L) に対して、コーシー＝リーマン作用素の摂動を必要とせず、群作用と軌道的多様体技法を用いて、対称的配置による閉写像の配置から自然にモジュライ空間が得られることである。

ABSTRACT

For $L \hookrightarrow X$ a Lagrangian embedding associated with a real homogeneous space, we construct the moduli space of stable holomorphic discs mapping to $(X,L)$ as an orbifold with corners equipped with a group action. Some essential constructions involving orbifolds with corners are also discussed, including the existence of fibered products and pushforward and pullback of differential forms with values in a local system.

研究の動機と目的

• コーシー＝リーマン作用素の摂動を要しない、実同次元対 (X,L) への安定な正則的円板写像のモジュライ空間を構成すること。
• このモジュライ空間が、角を持つコンパクトな Gk,l-軌道的多様体であり、閉じた安定写像のモジュライ空間への Gk,l--equivariant 写像を備えていることを確立すること。
• 群作用と対称的配置を活用して、解析的でない幾何的構成により、開グロモフ＝ウィトテン不変量を定義すること。
• ファイバー積、微分形式のプッシュフォワードおよびプルバック（局所系統値付き）といった、角を持つ軌道的多様体の基礎的道具を構築すること。
• 特にトーラス群作用の下で、超平面の吹き上げによって得られる角を持つ軌道的多様体における固定点集合の存在を示すこと。

提案手法

• 同次元空間におけるコーシー＝リーマン作用素の正則性により、閉じた安定写像のモジュライ空間 M0,k+2l(X,β+β) が期待次元を持つ複素軌道的多様体であることを用いる。
• 写像の共役と一部のマークド点の交換を用いて、M0,k+2l(X,β+β) に Z/2-作用を定義し、円板写像の二重化をモデル化する。
• b が反正則的自己同型であり、Σ1/2 が基本領域であるような対称的配置 ((Σ→X,...), b, Σ1/2) のモジュライ空間 M∶∶ を定義する。
• M0,k+2l(X,β+β) 内の Z/2-固定点集合 MZ/2 を超えて、超平面の吹き上げを用いて特異点を解消し、適切な軌道的多様体構造を保証する形で M∶∶ を吹き上げとして構成する。
• 群作用と等変幾何を用いて、M∶∶ から M0,k+2l(X,β+β)Z/2 への Gk,l--equivariant 忘却写像を定義する。
• 超平面の吹き上げによって得られる角を持つ G-軌道的多様体の固定点集合が、角を持つ軌道的多様体の圏において存在することを証明し、その包含写像が閉埋め込みであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実同次元対 (X,L) への開安定写像のモジュライ空間は、コーシー＝リーマン作用素の摂動なしに構成可能か？
• RQ2 モジュライ空間 M0,k,l(X,L,β) と閉じた安定写像のモジュライ空間 M0,k+2l(X,β+β) の間の幾何的操作によって、その構造はどのように関係づけられるか？
• RQ3 超平面の吹き上げを経て得られる角を持つ G-軌道的多様体の固定点集合が、角を持つ軌道的多様体として存在する条件は何か、特にトーラス群作用の下で。
• RQ4 自己同型と基本領域を伴う対称的配置は、どのように閉写像から開円板写像を再構成するか？
• RQ5 摂動データが存在しない状況下で、群作用と等変構成が、開グロモフ＝ウィトテン不変量の定義をどのように簡略化するか？

主な発見

• 実同次元対 (X,L) に対して、安定な正則的円板写像のモジュライ空間 M0,k,l(X,L,β) は、コーシー＝リーマン作用素の摂動を要せず、コンパクトな Gk,l-軌道的多様体であり、角を持つ。
• モジュライ空間 M0,k,l(X,L,β) は、写像 f: M0,k,l(β) → M0,k+2l(X,β+β) を持ち、これは円板写像の二重化を閉写像に引き上げる Gk,l--equivariant 写像である。
• 評価写像 ev: M0,k,l(β) → L^k × X^l は、ev∘f = (i_L^k × (id_X^l × c_X^l)∘Δ_X^l)∘ev を満たし、自己同型と整合する。
• 超平面の吹き上げによって得られる G-軌道的多様体 X̃ における固定点集合 (X̃)^G は、角を持つ軌道的多様体の圏において存在し、包含写像 (X̃)^G → X̃ は閉埋め込みである。
• G = U(1)^m の場合、吹き上げ B(X,E) の固定点集合は、B(X^G, Im(i^{-1}h)) に同型である。ここで i: X^G → X は固定点の包含写像である。
• この構成は局所的かつ自然的である：適切な座標系において、G-作用は線形化可能であり、固定点集合は座標の不変性および特定の成分の消滅によって特徴づけられる。