[論文レビュー] Moduli of rank 4 symplectic bundles over a curve of genus 2

George H. Hitching|ArXiv.org|Sep 2, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、種数2の曲線上の半安定なランク4のシンプレクティックバンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}_2$ の一般に有限な被覆を、ランク2で次数-1のバンドル $E$ によってインデックスづけられる5次元射影空間の族 $\mathbb{P}^5_E$ を用いて構成する。主な結果は、この被覆の次数が24であることであり、これは $\mathcal{M}_2$ の幾何的パrametrizationを提供し、そのKodaira次元が $-\infty$ であることを示唆する。この構成は、シンプレクティック拡大とベクトルバンドル上のシンプレクティック構造のコhomological基準に依存する。

ABSTRACT

Let X be a complex projective curve which is smooth and irreducible of genus 2. The moduli space M_2 of semistable symplectic vector bundles of rank 4 over X is a variety of dimension 10. After assembling some results on vector bundles of rank 2 and odd degree over X, we construct a generically finite cover of M_2 by a family of 5-dimensional projective spaces, and outline some applications.

研究の動機と目的

• 種数2の曲線上の半安定なランク4シンプレクティックバンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}_2$ の幾何的パラメータ化を構成すること。
• 既知の $\mathcal{M}_1$ の記述（$\mathbb{P}H^1(X, L^{-2})$ を通じて）をランク4の場合に拡張すること。
• 奇数次元のランク2バンドルのシンプレクティック拡大を分析することによって、$\mathcal{M}_2$ の構造を理解すること。
• 構成された被覆を用いて、$\mathcal{M}_2$ が有理被覆であり、Kodaira次元が $-\infty$ であることを確立すること。
• $\mathcal{M}_2$ 上の行列式ラインバンドルの基底被覆とシータ divisor の研究のための枠組みを提供すること。

提案手法

• ベクトルバンドルの拡大 $0 \to E \to W \to E^* \to 0$ がシンプレクティック構造を持つための必要十分条件として、その拡大類が $H^1(X, \mathrm{Sym}^2 E)$ に属することを用いる。
• ランク2で次数-1のバンドルのモジュライ空間 $\mathcal{U}_X(2, -1)$ にインデックスづけられる、5次元射影空間の族 $\mathbb{P}^5_E \cong \mathbb{P}H^1(X, \mathrm{Sym}^2 E)$ を構成する。
• シンプレクティック拡大の構成を用いて、この族の全空間 $\mathbb{B}$ からモジュライ空間 $\mathcal{M}_2$ への準同型 $\Phi: \mathbb{B} \to \mathcal{M}_2$ を定義する。
• コホモロジー的および安定性の議論を適用し、準同型 $\Phi$ が一般に24次元の有限被覆であることを示す。
• 一般のシンプレクティックバンドルは、次数-1のラグランジュ部分バンドルを有限個しか持たないという事実を用い、ファイバーが有限であることを保証する。
• 全空間 $\mathbb{B}$ が有理被覆であることと、$\Phi$ が全射であることから、$\mathcal{M}_2$ も有理被覆であり、Kodaira次元が $-\infty$ であると結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数2の曲線上のランク4シンプレクティックバンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}_2$ は、射影空間の族によってパラメータ化可能か？
• RQ2 ランク2バンドルの次数-1のシンプレクティック拡大から得られる、被覆 $\Phi: \mathbb{B} \to \mathcal{M}_2$ の次数は何か？
• RQ3 このような被覆の存在が、$\mathcal{M}_2$ が有理被覆であり、Kodaira次元が $-\infty$ であることを示唆するか？
• RQ4 行列式ラインバンドル $\Xi$ の基底被覆の性質は、被覆族の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 この構成は、特に偶数種数の場合に、同様のシンプレクティック拡大を用いて、より高種数の曲線へ一般化可能か？

主な発見

• 種数2の曲線上の半安定なランク4シンプレクティックバンドルのモジュライ空間 $\mathcal{M}_2$ は、次元10の射影的代数的多様体である。
• ランク2で次数-1のバンドル $E \in \mathcal{U}_X(2, -1)$ によってインデックスづけられる5次元射影空間の族 $\mathbb{P}^5_E$ からの、一般に有限な準同型 $\Phi: \mathbb{B} \to \mathcal{M}_2$ が存在し、これは一般に24次元の被覆である。
• 24次元の次数は、一般の $\mathcal{M}_2$ 内のシンプレクティックバンドルが、正確に24個の異なる次数-1のラグランジュ部分バンドルを持つという事実に起因する。
• 準同型 $\Phi$ は全射かつ一般に有限であり、$\mathbb{B}$ が有理被覆であることから、$\mathcal{M}_2$ も有理被覆であり、Kodaira次元が $-\infty$ であることが従う。
• この構成は、$\mathcal{M}_2$ 上の行列式ラインバンドル $\Xi$ の基底被覆を研究するための道具を提供する。これは $4\Theta$ 型の divisor の台と関係している。
• この方法は、高種数の曲線、特に偶数種数の場合に、ランク2バンドルの次数 $1-g$ を用いた同様のシンプレクティック拡大を考察することによって、一般化が可能であると示唆する。