[論文レビュー] Moduli of theta-characteristics via Nikulin surfaces

Gavril Farkas, Alessandro Verra|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、8つの互いに素な有理曲線からなる特定の2-可除性を持つ除算子を持つK3表面（Nikulin表面）が、$g \leq 7$、$g \neq 6$ の場合に、Prymモジュライ空間 $Χ_g$ の有理被覆を提供することを確立し、また、8 genus の偶数スピン曲線のモジュライ空間 $¯{\mathcal{S}}_8^+$ がKodaira次元0であることを証明する。これにより、$g \leq 8$ の範囲で $¯{\mathcal{S}}_g^+$ の双有理分類が完全に完成する。結果は、K3表面とPrym幾何の類似性を拡張し、$¯{\mathcal{S}}_g^+$ の双有理型が特別なK3表面の存在に支配されることを示している。

ABSTRACT

We study moduli spaces of K3 surfaces endowed with a Nikulin involution and their image in the moduli space R_g of Prym curves of genus g. We observe a striking analogy with Mukai's well-known work on ordinary K3 surfaces. Many of Mukai's results have a very precise Prym-Nikulin analogue, for instance: (1) A general Prym curve from R_g is a section of a Nikulin surface if and only if g\leq 7, g eq 6. (2) R_7 has the structure of a Mori fibre space over the corresponding moduli space of polarized Nikulin surfaces. (3) In the case of genus next to maximal (g=6), the Prym-Nikulin locus in R_6 is an extremal divisor; the corresponding space of Nikulin surfaces has a Grassmannian GIT model. (4) The Prym-Nikulin locus in R_g can be characterized by extra syzygies of Prym-canonical curves. We then use these results to study the geometry of the moduli space S_g of even spin curves, with special emphasis on the transition case of S_8 which is a 21-dimensional Calabi-Yau variety.

研究の動機と目的

• 曲線とPrym多様体のモジュライ空間の文脈において、K3表面とNikulin表面の類似性を拡張すること。
• $g = 8$ における $¯{\mathcal{S}}_g^+$ のKodaira次元を特定することで、$g \leq 8$ の範囲で偶数スピン曲線のモジュライ空間 $¯{\mathcal{S}}_g^+$ の双有理分類を完成させること。
• Nikulin表面を用いた一様なパラメトライゼーションにより、$g \leq 7$、$g \neq 6$ の場合にPrymモジュライ空間 $¯{\mathcal{R}}_g$ が有理被覆であることを示すこと。
• Nikulin K3表面に存在する曲線の集合が、$¯{\mathcal{S}}_g^+$ の双有理幾何において、$\mathcal{M}_g$ におけるK3表面の役割と類似した役割を果たすことを確立すること。
• $\u00af{\mathcal{S}}_8^+$ が一般型か有理被覆であるかを証明し、$\u00af{\mathcal{S}}_g^+$ の分類における最後の未解決事項を解消すること。

提案手法

• genus $g$ の極付きNikulin表面のモジュライ空間 $\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$ を構成し、$S$ を8つの互いに素な有理曲線 $N = N_1 + \cdots + N_8$ を持つK3表面とし、$e = \frac{1}{2}N$ とする三つ組 $(S, e, \mathcal{O}_S(C))$ をパラメトライズする。
• $\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$ 上の $\mathbb{P}^g$-バンドル $\mathcal{P}_g^\mathfrak{N}$ を定義し、$C \subset S$ が $C \cdot N_i = 0$ をすべての $i$ に対して満たす $g$ genus の滑らかな曲線であるような $(S, e, C)$ のペアをパラメトライズする。
• 自然な準同型 $\chi_g: \mathcal{P}_g^\mathfrak{N} \to \mathcal{R}_g$ を定義し、$(S, e, C)$ を $e_C = e|_C$ を持つPrym曲線 $[C, e_C]$ に送る。その支配性を分析する。
• $K3$ 表面における曲線の交点理論の幾何的制約を用いて、$\chi_g$ が支配的であるための必要十分条件が $g \leq 7$ かつ $g \neq 6$ であることを証明する。
• 二次曲面 $Q_0$ への2重被覆 $f: S \to Q_0$ を用いて、ノードを持つスピン曲線のペンキル $R \subset \overline{\mathcal{S}}_8^+$ を構成する。分岐除算は2本の直線と2本の二次曲線からなる。
• 一般変形空間における自己同型作用と変形理論を用いて、$\overline{\mathcal{S}}_8^+$ 上の交点数を計算し、$R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$ を得る。これによりKodaira次元0が示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの genus $g$ に対して、Nikulin表面による一様なパラメトライゼーションによって Prym モジュライ空間 $\mathcal{R}_g$ が有理被覆となるか？
• RQ2 8 genus の偶数スピン曲線のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ の双有理型は何か？
• RQ3 Nikulin K3表面に存在する曲線の存在が、$\overline{\mathcal{S}}_g^+$ の双有理幾何にどのように関係するか？
• RQ4 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ のKodaira次元は何か？ また、$g \leq 7$ および $g \geq 9$ の既知の振る舞いと比較するとどうなるか？
• RQ5 8-可除性を持つ分岐除算を持つK3表面の2重被覆の幾何は、$\overline{\mathcal{S}}_g^+$ 上に有効な除算や曲線を構成するために用いることができるか？

主な発見

• $\chi_g: \mathcal{P}_g^\mathfrak{N} \to \mathcal{R}_g$ が支配的であるための必要十分条件は $g \leq 7$ かつ $g \neq 6$ であり、これは一般の $g \leq 7$、$g \neq 6$ のPrym曲線がNikulin表面に存在することを意味する。
• $\mathcal{R}_g$ は $g \leq 7$ の場合に有理被覆であり、これは $\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$ が $g \leq 6$ の場合に有理被覆であるため、$\mathbb{P}^g$-バンドル構造に起因する。
• $\overline{\mathcal{S}}_g^+$ は $g \leq 7$ の場合に有理被覆であり、$g \geq 9$ の場合に一般型である。これにより、$\overline{\mathcal{S}}_8^+$ が唯一の未解決事項となった。
• $\overline{\mathcal{S}}_8^+$ のKodaira次元は0である。これは、ノードを持つペンキル $R \subset \overline{\mathcal{S}}_8^+$ を構成し、変形理論を用いて交点数を計算することで $R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$ を得たことにより示された。
• 交点数 $R \cdot \beta_0 = 7$ は、境界除算 $B_0$ がノードにおいてCartierでないため生じる。局所自己同型群 $\mathbb{Z}_2$ が変形空間上で作用する。
• 計算 $R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = \frac{1}{4}R \cdot \lambda - \frac{1}{16}R \cdot \alpha_0 = -1$ により、$\overline{\mathcal{S}}_8^+$ が一般型ではなく、Kodaira次元0であることが確認された。