[論文レビュー] Theta-duality on Prym varieties and a Torelli Theorem

Martí Lahoz, Juan Carlos Naranjo|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ g \geq 4 $ の非双曲的でない曲線の分岐なし二重被覆に関連するプリム多様体に対して、スキーム論的トータル双対性の等式を確立し、$ T(\widetilde{C}) = V^2 $ および $ T(V^2) = \widetilde{C} $ を証明する。ここで $ V^2 $ はインデックス 2 のブリル・ノエター局所的である。フーリエ＝ムカイ変換とコホモロジー的技法を用いて、一般性の仮定を課さずに、元の二重被覆を特定するトーリ型定理をさらに証明する。

ABSTRACT

Let p:C' -> C be an unramified double covering of irreducible smooth curves and let P be the attached Prym variety. We prove the schematic theta-dual equalities in the Prym variety T(C')=V^2 and T(V^2)=C', where V^2 is the Brill-Noether locus of P associated to p considered by Welters. As an application we prove a Torelli Theorem analogous to the fact that the g-th symmetric product of a curve D of genus g determines the curve.

研究の動機と目的

• 非分岐な二重被覆に付随するプリム多様体におけるスキーム論的トータル双対性の等式 $ T(\widetilde{C}) = V^2 $ および $ T(V^2) = \widetilde{C} $ を確立すること。
• プリム上の次数 $ g-1 $ の有効除的をパラメトライズする多様体 $ X^{-} $ が、元の二重被覆 $ \widetilde{C} \to C $ を特定することを示すトーリ型定理を証明すること。
• ブリル・ノエター局所的 $ V^2 $ と主偏極 $ \Xi $ が、一般性や genus の制限なしに被覆を一意に特定することを示すこと。
• 曲線 $ \widetilde{C} $ 上の線分束の押し出しのフーリエ＝ムカイ変換が、$ \mathcal{I}_{V^2}(\Xi_\lambda) $ を実現するコホモロジー層を持つ複体を生成することを示し、これにより双対性の証明が可能になること。
• 5次元のプリム多様体として同型である滑らかな立方三様体の中間ジャコビアンの文脈において、主定理を解釈すること。

提案手法

• 埋め込み $ j: \widetilde{C} \to P $ と $ \operatorname{Pic}^{2g-2}(\widetilde{C}) $ 内の線分束 $ L $（ノームが $ \omega_C $）に対して、$ j_*L $ におけるフーリエ＝ムカイ変換を用い、$ X^{-} $ および $ V^2 $ の幾何を分析する。
• $ h^0(L) $ が奇数のとき、フーリエ＝ムカイ変換 $ \mathbf{R}\mathscr{S}_P(j_*L) $ は非自明なコホモロジー層 $ \mathcal{R}^0 $ と $ \mathcal{R}^1 $ をもち、$ \mathcal{R}^1 \cong \mathcal{I}_{V^2}(\Xi_\lambda) $ であることを用いる。
• フーリエ＝ムカイ変換の双対性を応用し、$ \mathcal{R}^1 \cong \mathcal{I}_{V^2}(\Xi_\lambda) $ から $ T(V^2) = \widetilde{C} $ を導出する。ここで $ T(Y) $ は $ a \in P $ で $ a + Y \subset \Xi $ を満たす点の集合として定義される。
• フィット台とコホモロジー的技法を用いて、集合論的には容易なが、スキーム論的には微妙な代数幾何的技術を要する、$ T(\widetilde{C}) = V^2 $ のスキーム論的等式を証明する。
• [B1]、[CG]、[H1] の結果を統合し、立方三様体の直線のファノ多様体 $ F $ がプリム多様体に埋め込まれることを解釈し、$ V^2 $ が $ F $ と $ \sigma F $ の平行移動の和集合として特定されることを示す。
• $ \mathcal{O}_{C_t}(D(r) + D(\sigma r)) \cong L^\otimes 2 $ であることから、写像 $ r \mapsto L^{-1}(D(r)) $ が $ C_t $ を $ T(V^2) $ に埋め込むことができ、主定理により等式が得られることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プリム多様体 $ P $ 内の曲線 $ \widetilde{C} $ のスキーム論的トータル双対性は、ブリル・ノエター局所的 $ V^2 $ に等しいか？
• RQ2 プリム上の次数 $ g-1 $ の有効除的をパラメトライズする多様体 $ X^{-} $ は、元の非分岐二重被覆 $ \widetilde{C} \to C $ を特定できるか？
• RQ3 $ T(V^2) = \widetilde{C} $ はスキーム論的等式であり、曲線やその genus に一般性の仮定を課さずに成立するか？
• RQ4 フーリエ＝ムカイ変換 $ j_*L $ と理想層 $ \mathcal{I}_{V^2}(\Xi_\lambda) $ の関係は何か？ そしてこの同型は双対性の証明に利用可能か？
• RQ5 立方三様体の中間ジャコビアンの場合は、主定理が既知の幾何的構造 $ V^2 $ および $ T(V^2) $ を回復するか？

主な発見

• 曲線 $ \widetilde{C} $ のスキーム論的トータル双対性が、ブリル・ノエター局所的 $ V^2 $ に正確に一致する。すなわち、$ C $ が非双曲的で $ g \geq 4 $ のとき、$ T(\widetilde{C}) = V^2 $ が成り立つ。
• $ V^2 $ のスキーム論的トータル双対性が曲線 $ \widetilde{C} $ に一致する。すなわち、$ T(V^2) = \widetilde{C} $ であり、これはプリム多様体内での $ \widetilde{C} $ と $ V^2 $ 間の完全な双対性を確立する。
• プリム上の次数 $ g-1 $ の有効除的をパラメトライズする多様体 $ X^{-} $ は、一般性や genus の制限なしに、元の二重被覆 $ \widetilde{C} \to C $ を特定する。
• フーリエ＝ムカイ変換のコホモロジー層 $ \mathcal{R}^1 $ は、理想層 $ \mathcal{I}_{V^2}(\Xi_\lambda) $ に同型であり、これは双対性の証明において中心的な役割を果たす。
• 滑らかな立方三様体の中間ジャコビアンの場合は、$ V^2 $ はファノ多様体 $ F $ と $ \sigma F $ の平行移動の和集合であり、$ T(V^2) $ は固定された直線 $ t $ と交わる直線の曲線 $ C_t $ に同型である。これは古典的状況における主定理の確認である。
• $ T(V^2) = \widetilde{C} $ は、交差 $ F_{L^{-2}} \cap (-1)^*F_{L^{-2}} $ が $ C_t $ に一致することにより、立方三様体の既知の幾何的文脈において双対性が成立することを示している。