[論文レビュー] Moduli space actions on the Hochschild Co-Chains of a Frobenius algebra I: Cell Operads

Ralph M. Kaufmann|ArXiv.org|Jun 2, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$g$Genusの曲線と$n$個の穴あき点に加えて各点での接ベクトルをもつモジュライ空間のセルモデルを構成し、それが有理数的巡回オペラッド構造を備えていることを示している。さらに、スーリヴァンの弦図により、フォビニウス代数のホッフチルド・コチェインにdg-PROP作用を定義し、オペラッド的相関関数に引き上げ、ループ空間のホモロジーへの作用を誘導する。主な結果として、モジュライ空間のセル実現と、弦図のチェーン複体におけるチェーンレベルのPROP構造が得られる。

ABSTRACT

This is the first of two papers in which we prove that a cell model of the moduli space of curves with marked points and tangent vectors at the marked points acts on the Hochschild co--chains of a Frobenius algebra. We also prove that a there is dg--PROP action of a version of Sullivan Chord diagrams which acts on the normalized Hochschild co-chains of a Frobenius algebra. These actions lift to operadic correlation functions on the co--cycles. In particular, the PROP action gives an action on the homology of a loop space of a compact simply--connected manifold. In this first part, we set up the topological operads/PROPs and their cell models. The main theorems of this part are that there is a cell model operad for the moduli space of genus $g$ curves with $n$ punctures and a tangent vector at each of these punctures and that there exists a CW complex whose chains are isomorphic to a certain type of Sullivan Chord diagrams and that they form a PROP. Furthermore there exist weak versions of these structures on the topological level which all lie inside an all encompassing cyclic (rational) operad.

研究の動機と目的

• Genus $g$ の曲線と $n$ 個の穴あき点に加えて各点での接ベクトルをもつモジュライ空間 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$ のセルモデルを定義すること。
• このモジュライ空間およびそのセルモデルに有理数的巡回オペラッド構造を確立すること。
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ と同相なセル複体からなるスーリヴァンの弦図の特定のタイプと同型なセルチェーン複体からなるdg-PROPを構成すること。
• このdg-PROPがフォビニウス代数のホッフチルド・コチェインに作用することを示し、オペラッド的相関関数に引き上げること。
• この作用が、単連結なコンパクト多様体の自由ループ空間のホモロジーに、ホモロジー的作用として降下することを示すこと。

提案手法

• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ と呼ばれるCW複体を構成し、重み付き弧グラフによってインデックスが付与されたセルをもつ。各入力境界に対して標準単体を用いる。
• 局所的な弧の重みのスケーリングにより、各入力境界の総重量を保つように、二重オペラッド的合成を定義する。これにより、貼り合わせ操作と整合性が保たれる。
• 得られた構造がホモトピー-PROPであることを証明し、セルチェーン複体上で厳密なPROPに降下することを示す。
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ のセルチェーン複体と特定のタイプのスーリヴァンの弦図との間の同型を確立し、dg-PROPを形成する。
• ホモトピー同値を用いて、CW複体のホモロジーがモジュライ空間の有理数コホモロジーを実現することを示す。
• セルチェーン複体上のPROP構造が、モジュライ空間の次数付きセルチェーン複体と一致することを示し、位相的PROPのチェーンモデルを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Genus $g$ の曲線と $n$ 個の穴あき点に加えて各点での接ベクトルをもつモジュライ空間 $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$ は、位相的レベルで有理数的巡回オペラッド構造を備えているか？
• RQ2 そのコホモロジーを実現し、ホッフチルド・コチェインにdg-オペラッド作用を備えるセルモデルを $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$ に対して構成できるか？
• RQ3 特定のタイプのスーリヴァンの弦図と同型なセルチェーン複体にdg-PROP構造が存在するか？ また、そのdg-PROPはフォビニウス代数のホッフチルド・コチェインに作用するか？
• RQ4 これらのチェーン上の代数的構造は、単連結なコンパクト多様体の自由ループ空間のホモロジーとどのように関係しているか？
• RQ5 微分付き代数のコサイクルのテンソル代数上で、循環的トレースを備えたオペラッド的相関関数を定義できるか？ そして、一貫性のある作用が得られるか？

主な発見

• $M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$ のセルモデルは、$\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ と呼ばれるCW複体として構成され、セルは弧グラフによってインデックスが付与される。
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ はホモトピー-PROP構造を備え、そのセルチェーン複体上で厳密なPROPに降下する。
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ のセルチェーン複体は、特定のタイプのスーリヴァンの弦図と同型なdg-PROPを形成する。
• このdg-PROPはフォビニウス代数のホッフチルド・コチェインに作用し、ホモロジーに降下するdg作用を誘導する。
• $\overline{\mathcal{A}rc}^{i\leftrightarrow o}_1$ のホモロジーは、モジュライ空間の有理数コホモロジーと同型であり、チェーンモデルが有理数的セル実現であることを確認する。
• フォビニウス代数のホッフチルド・コホモロジーへの作用は、循環的コホモロジーの同一視の下でコンネスの $B$-作用を通じてBV作用に対応する。