[論文レビュー] Moduli spaces of p-divisible groups

Eva Viehmann|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特徴が $p$ である完全体上の $p$-除的群の準同型写像のモジュライ空間のグローバル幾何を研究し、有理デュドネー加群が単純である場合の次元、連結成分および既約成分、およびコホモロジーを特定する。連結成分が有理的に連結であることを証明し、ニュートン多角形の勾配を含む公式を用いて次元を計算する。

ABSTRACT

We study the global structure of moduli spaces of quasi-isogenies of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. We determine their dimensions and their sets of connected components and of irreducible components. If the isocrystals of the p-divisible groups are simple, we compute the cohomology of the moduli space. As an application we determine which moduli spaces are smooth.

研究の動機と目的

• 特徴が $p$ である完全体上の $p$-除的群の準同型写像のモジュライ空間のグローバル構造を理解すること。
• 削減されたモジュライ空間 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の連結成分および既約成分の集合を特定すること。
• 有理デュドネー加群が単純である場合の $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ のコホモロジーを計算すること。
• 次元および双対性基準を用いて、モジュライ空間が滑らかであるための条件を確立すること。

提案手法

• 群 $J = \{g \in \mathrm{GL}(N) \mid g \circ F = F \circ g\}$ のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ への作用を用いて、既約成分の構造を分析する。
• $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の次元は、ニュートン多角形の勾配 $\lambda_j = m_j/(m_j + n_j)$ を含む公式により計算される：$\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \sum_j \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'}$。
• 本稿は、$M_0$ を最小の $p$-除的群の格子とするとき、$\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ を商 $J / (J \cap \mathrm{Stab}(M_0))$ として表現する。
• $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の明示的な $k[[t]]$-値点をディスプレイを用いて構成し、接空間を分析し、滑らかさまたはポincare双対性の不成立を検証する。
• コホモロジー計算は、単純な等長的加群の場合、モジュライ空間が次元が既知のベッチ数を持つ射影的代数的多様体であるという事実に依拠する。
• 次元公式 $\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \langle \rho, \mu - \nu \rangle - \frac{1}{2} \mathrm{def}_G(F)$ を用い、ここで $\mathrm{def}_G(F) = h - l$、$h = \mathrm{ht}(\mathbb{X})$、$l$ は勾配タイプの数。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特徴が $p$ である完全体上の $p$-除的群の準同型写像のモジュライ空間 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の次元は何か？
• RQ2 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の連結成分はどのようにパrameter化され、それらは有理的に連結であるか？
• RQ3 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の既約成分の集合の構造は何か？また、群 $J$ はそれらにどのように作用するか？
• RQ4 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ が滑らかであるための条件は何か？また、コホモロジーを用いてどのように同定できるか？
• RQ5 有理デュドネー加群が単純である場合、$\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ のコホモロジーを計算できるか？

主な発見

• 有理デュドネー加群が単純である場合、$\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の連結成分の集合は、$\left(\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{m}})}(\mathbb{Q}_p)/\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{m}})}(\mathbb{Z}_p)\right) \times \left(\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{et}})}(\mathbb{Q}_p)/\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{et}})}(\mathbb{Z}_p)\right) \times \mathbb{Z}$ に同型である（$\mathbb{X}$ が非通常でない場合）。
• $J$ が $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の既約成分に作用するとき、その作用は推移的であり、成分は $J / (J \cap \mathrm{Stab}(M_0))$ に一対一対応する。ここで $M_0$ は最小の $p$-除的群の格子である。
• $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ の次元は、$m_j, n_j$ を互いに素な整数として、$\lambda_j = m_j/(m_j + n_j)$ を定義するとき、$\sum_j \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'}$ で与えられる。
• 有理デュドネー加群が単純である場合、$\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ のコホモロジーが計算され、空間はポincare双対性を満たす。
• $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ が滑らかであるための必要十分条件は、ポincare双対性を満たすことである。$\min\{m,n\} > 2$ のとき、不等式 $\dim H^2 \neq \dim H^{2d-2}$（$d = \dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}}^0$）により、これは成立しない。
• 次元公式 $\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \langle \rho, \mu - \nu \rangle - \frac{1}{2} \mathrm{def}_G(F)$ が成り立ち、ここで $\mathrm{def}_G(F) = h - l$、$h = \mathrm{ht}(\mathbb{X})$、$l$ は異なる勾配タイプの数。