[論文レビュー] Moment and Tail Inequalities for Polynomial Martingales

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、重い尾を持つ増分を伴う多項式マルティングルという、非漸近的モーメントおよび尾の不等式を、グランド・リーマン・スペース（GLS）を用いて確立する。再帰的ノルム推定および逆マルティングル手法を用いて鋭い境界を導出し、任意の順序のモーメントが存在しない場合にも、従来の結果を拡張する。応用分野にはバナッハ空間における確率論およびモンテカルロ法が含まれる。

ABSTRACT

In this paper we obtain the non-asymptotic exact moment and tails estimates for polynomial on martingale differences. We give also some examples on order to show the exactness of obtained results.

研究の動機と目的

• d ≥ 1 の順序の同次多項式マルティングルに対して、おそらく重い尾を持つ増分を伴う非漸近的モーメントおよび尾の推定を導出すること。
• 従来、軽い尾（部分ガウス型）の増分に対してのみ有効であった指数的尾の境界を、高階モーメントが存在しない可能性がある重い尾分布の状況に拡張すること。
• 一般のモーメント条件の下で、多項式マルティングルの可積分性および尾の挙動を特徴付けるためのグランド・リーマン・スペース（GLS）に基づくフレームワークを構築すること。
• 特に、ベクトル独立および内部独立のマルティングル構造において、再帰的ノルム構築により正確かつ鋭い境界を提供すること。
• 任意の中心化された多項式および逆マルティングルに結果を一般化し、最大不等式およびベクトル値ノルム推定を確立すること。

提案手法

• 本稿は、モーメントの減衰または増大を反映する重み関数 ν(p) を用いて、確率変数の p 階モーメントに基づくノルムを定義するグランド・リーマン・スペース（GLS）を用いる。
• 端点 ζ_d(p) = K_M(p)ν_d^{(n)}(p) から始める再帰的ノルム関数 ζ_m(p) の構成を導入し、m = d−1,…,1 に対して ζ_m(p) = K_M(p)ζ_{m+1}(p)ν_m^{(n)}(p) と再帰的に定義する。
• 主な不等式は、多項式マルティングル V_n^{(N)}(d,n,ξ) の GLS ノルムを、成分ベクトル ξ(m) の GLS ノルムの積で上界で抑え、||V_n^{(N)}||_G(ζ_1) ≤ ∏_{m=1}^d ||ξ(m)||_G(ν_m^{(n)}, r_m) と表す。
• この手法は、一般化された「良い λ」不等式および多項式和のマルティングル構造に適用されたドゥーブの最大不等式に依存する。
• Q_d をその分散で正規化することで、ノルム付き多重和の概念を導入し、正規化された増分 ξ̂(i,m) = ξ(i,m)/σ(i,m) を用いた同等の境界を得る。
• フレームワークは逆マルティングルおよびベクトル値ノルムに拡張され、ドゥーブの不等式および p/(p−1) 要素を用いて最大不等式が導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の増分が重い尾を持ち、任意の順序のモーメントが存在しない場合に、多項式マルティングルの鋭いモーメントおよび尾の境界をどのように導出できるか？
• RQ2 グランド・リーマン・スペースは、このような多項式マルティングルの可積分性および尾の挙動を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ3 再帰的ノルム構築は、マルティングル差分の多重確率積分に対して正確かつ非漸近的な境界を提供できるか？
• RQ4 マルティングル増分におけるさまざまな独立性仮定（ベクトル独立、内部独立、完全独立）の下で、境界はどのように異なるか？
• RQ5 最大不等式およびベクトル値ノルム推定は、多項式マルティングルおよび逆マルティングルにどの程度一般化可能か？

主な発見

• 本稿は鋭い境界を確立する：sup_{b∈B} ||V_n^{(N)}(d,n,ξ)||_G(ζ_1) ≤ ∏_{m=1}^d ||ξ(m)||_G(ν_m^{(n)}, r_m)，ここで ζ_1 は ν_m^{(n)}(p) から逆再帰的に定義される。
• ベクトル独立版では、多項式マルティングルのノルムが成分ベクトルの GLS ノルムの積で抑えられ、ζ_1(p) = K_M^d(p)∏_{m=1}^d ν_m^{(n)}(p) と表される。
• 境界は非漸近的かつ正確であり、モーメント成長関数 ν_m(p) に明示的な依存性を示し、重い尾を持つ分布の取り扱いを可能にする。
• 最大不等式が導出される：sup_{b∈B} ||sup_n |Q(d,n,b)||_p ≤ C ζ_d(p) · p/(p−1)，p < r に対して有効で、r = |log_β ε| である。
• 結果はローゼンタールの定理（l_2埋め込み）を多項式マルティングルに一般化し、適切なモーメント条件の下で、このような和が l_2 に同型な部分空間を生成することを示している。
• ノルム付き多重和 Q̂_d = Q_d / √Var(Q_d) は、非正規化和と同一の境界を満たし、重み関数 ν_m(p) は ν̂_m(p) = sup_i |ξ̂(i,m)|_p に置き換えられる。