[論文レビュー] Monge-Ampère operators, energy functionals, and uniqueness of Sasaki-extremal metrics

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Sasakian多様体上の横断的ケーラー計量空間における弱 $C^{1,1}$ geodesicsに沿った K-energy の凸性を確立し、Reeb foliation 及びその横断的正則構造の自己同型に関して Sasaki-extremal 計量の一意性を証明する。この結果は、ケーラー幾何学における多変数関数論的手法をササキ幾何学へと拡張し、Sasakian 環境における標準計量の存在のための必要十分条件と、新たな一意性枠組みを提供する。

ABSTRACT

We develop some pluripotential theoretic techniques for the transversally holomorphic foliation of a Sasakian manifold. We prove the convexity of the K-energy along weak geodesics for Sasakian manifolds. This implies that the K-energy is bounded below if a constant scalar curvature structure exists with those metrics minimizing it. More generally, a relative version of the K-energy is convex, and bounded below if there exists a Sasaki-extremal metric, providing an important necessary condition for Sasaki-extremal metrics. Another application is a proof of the uniqueness of Sasaki-extremal metrics, for a fixed transversally holomorphic structure on the Reeb foliation.

研究の動機と目的

• ケーラー幾何学からササキ幾何学への多変数関数論的理論の拡張、特に横断的正則foliation に対して。
• 横断的ケーラー計量空間における弱 $C^{1,1}$ geodesics に沿った K-energy の凸性の確立。
• Reeb foliation 及び横断的正則構造の自己同型に関して Sasaki-extremal 計量の一意性の証明。
• 相対的 K-energy の有界性を用いた、Sasaki-extremal 計量の存在のための必要条件の提供。

提案手法

• Sasakian多様体の横断的ケーラー空間における横断的擬・サブ・ハーモニック関数および Monge-Ampère 演算子の構築。
• Monge-Ampère 演算子の弱連続性を応用し、弱 $C^{1,1}$ ポテンシャルの空間 $\mathcal{H}_{1,1}$ に K-energy を拡張。
• 摂動された Mabuchi 機能の陰関数定理を用いて、臨界点の経路の構成。
• $\alpha$-twisted Mabuchi 機能 $\mathcal{M}^{\alpha,t\mu}$ を用いた変形法を実装し、$\alpha$-twisted 極値的条件下での一意性の証明。
• 極値方程式の線形化を分析し、geodesic 方程式の微分が同型写像であることを示し、陰関数定理の適用を可能にする。
• 横断的楕円型作用素および $L^2$-推定を用いて、機能の2次変動の正定値性の証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sasakian多様体上の横断的ケーラー計量空間における弱 $C^{1,1}$ geodesics に沿って K-energy は凸性を保つのか。
• RQ2 $c_1^b(M) \leq 0$ の仮定なしに、Sasaki-extremal 計量の一意性を確立できるか。
• RQ3 Sasaki-extremal 計量が存在する場合、相対的 K-energy は下から有界であるか。また、これは存在のための必要条件を提供するか。
• RQ4 一意性結果は $\alpha$-twisted 極値的構造へと拡張可能か。$K$-不変性の $\alpha$ は果たす役割は何か。
• RQ5 ケーラー幾何学における多変数関数論的手法は、ササキ多様体の横断的幾何にどのように適合するか。

主な発見

• 弱 $C^{1,1}$ geodesics に沿った横断的ケーラー・ポテンシャル空間における K-energy は凸である。これはケーラー幾何学における重要な結果の一般化である。
• Sasaki-extremal 計量が存在する場合、K-energy は下から有界であり、存在のための必要条件を提供する。
• Sasaki-extremal 計量は、Reeb foliation 及びその横断的正則構造の自己同型に関して一意的である。
• $\alpha$-twisted 極値的構造において、固定された正則性ポテンシャルを持つ場合、横断的ケーラー計量は一意に定まる。
• $\alpha$-twisted Mabuchi 機能は弱 geodesics に沿って凸であり、与えられた条件下でその臨界点は一意的である。
• 臨界点における極値方程式の線形化は同型写像である。これにより、陰関数定理を用いて近傍における一意解の構成が可能となる。