[論文レビュー] Monoidal categories and the Gerstenhaber bracket in Hochschild cohomology

Reiner Hermann|Mar 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 96被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、S. SchwedeによるHochschildコホモロジーにおけるGerstenhaber括弧の正確な系列解釈を、正確かつモノイダル圏へと拡張する。Quillenの群ガロア構成を用いて、拡張圏のホモトピー群とExt群の間の明示的な同型写像を記述することで実現される。主な貢献は、Gerstenhaber括弧がMorita同値に関して不変であることを証明し、quasi-triangular bialgebraに対して顕著な部分の核を計算することで、L. Menichiの予想を確認することにある。

ABSTRACT

In this monograph, we extend S. Schwede's exact sequence interpretation of the Gerstenhaber bracket in Hochschild cohomology to certain exact and monoidal categories. Therefore we establish an explicit description of an isomorphism by A. Neeman and V. Retakh, which links $\mathrm{Ext}$-groups with fundamental groups of categories of extensions and relies on expressing the fundamental group of a (small) category by means of the associated Quillen groupoid. As a main result, we show that our construction behaves well with respect to structure preserving functors between exact monoidal categories. We use our main result to conclude, that both the Lie bracket and the squaring map in Hochschild cohomology are invariants under Morita equivalence. For quasi-triangular bialgebras, we further determine a significant part of the Lie bracket's kernel, and thereby prove a conjecture by L. Menichi. Along the way, we introduce $n$-extension closed and entirely extension closed subcategories of abelian categories, and study some of their properties.

研究の動機と目的

• SchwedeのGerstenhaber括弧の正確な系列解釈を、正確およびモノイダル圏へ一般化すること。
• Ext群と拡張圏の基本群を結ぶRetakh同型写像の明示的記述を提供すること。
• 構造を保全する関手を介して、Gerstenhaber括弧がMorita同値に関して不変であることを確立すること。
• quasi-triangular bialgebraに対して、Gerstenhaber括弧の核の顕著な部分を特定し、L. Menichiの予想を検証すること。
• アーベル圏におけるn-拡張閉および完全拡張閉部分圏を導入・研究すること。

提案手法

• 小圏の基本群を拡張圏のホモトピー型によって記述するため、Quillenの群ガロア構成を用いる。
• Ext群と拡張圏のホモトピー群の間のRetakh同型写像を用い、明示的な代数的記述を提供する。
• Yoneda積を用い、導来圏の枠組みを通じてHochschildコホモロジーにLie括弧を定義する。
• モノイダル圏の仮定のもとで、拡張圏間のモノイダル関手を構成し、括弧構造を保存することを示す。
• 合成における拡張の安定性を分析するため、n-拡張閉および完全拡張閉部分圏の概念を導入する。
• bialgebra上のbimoduleの圏におけるモノイダル構造を用い、テンソル積と整合性を持つ括弧の定義を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SchwedeのGerstenhaber括弧の正確な系列解釈を、正確およびモノイダル圏へどのように一般化できるか？
• RQ2 この文脈において、Ext群と拡張圏のホモトピー群の間のRetakh同型写像の明示的形は何か？
• RQ3 モノイダル圏の文脈において、Hochschildコホモロジー上のGerstenhaber括弧はMorita同値に関して不変であるか？
• RQ4 quasi-triangular bialgebraのGerstenhaber括弧の核は何か？また、L. Menichiの予想と一致するか？
• RQ5 n-拡張閉および完全拡張閉部分圏は、拡張圏の構造およびそのホモトピー群にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Retakh同型写像によるGerstenhaber括弧の構成は、正確モノイダル圏間の構造を保全する関手と整合する。
• Hochschildコホモロジー上の可換なLie括弧はMorita同値に関して不変であり、モジュールの場合の結果を一般化する。
• quasi-triangular bialgebraに対して、Gerstenhaber括弧の核の顕著な部分が明示的に特定され、L. Menichiの予想が確認された。
• bialgebra上のbimoduleの圏は、Hochschildコホモロジーに適切な括弧を誘導するモノイダル構造を備えている。
• n-拡張閉および完全拡張閉部分圏の導入により、アーベル圏における高次の拡張閉性の分析フレームワークが得られた。
• Yoneda積および括弧構成が、bimoduleの圏におけるモノイダル構造と整合することを示し、コホモロジー上に一貫したLie代数構造が得られた。