[論文レビュー] Monoidal Grothendieck construction

Joe Moeller, Christina Vasilakopoulou|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、モノイダル・グロテンドイック構成を用いて、モノイダル・ファイブレーションとモノイダル・インデックス付きカテゴリの間で2-圏的同値を確立する。具体的には、Cat へのラックスモノイダルプシーファンクターとしての同値である。これは『全体的』なモノイダル構造（全カテゴリ上で定義されるもの）と『ファイバー内』のモノイダル構造（ファイバー上で定義されるもの）の違いを明確にし、底カテゴリが余カルテシアンモノイダルであるとき、(Cat, ×, 1) へのラックスモノイダルプシーファンクターとMonCatへのプシーファンクターの間の双対性を証明する。これにより、モノイダル圏論におけるこれまで別個の視点であった二つの枠組みが統合される。

ABSTRACT

We lift the standard equivalence between fibrations and indexed categories to an equivalence between monoidal fibrations and monoidal indexed categories, namely weak monoidal pseudofunctors to the 2-category of categories. In doing so, we investigate the relation between this `global' monoidal structure where the total category is monoidal and the fibration strictly preserves the structure, and a `fibrewise' one where the fibres are monoidal and the reindexing functors strongly preserve the structure, first hinted by Shulman. In particular, when the domain is cocartesian monoidal, lax monoidal structures on the functor to the 2-category of categories correspond to lifts of the functor to the 2-category of monoidal categories. Finally, we give examples where this correspondence appears, spanning from the fundamental and family fibrations to network models and systems.

研究の動機と目的

• ファイブレーションとインデックス付きカテゴリの間の古典的グロテンドイック同値性をモノイダル構造へと拡張することで、モノイダル設定におけるグロテンドイック構成を拡張すること。
• 『全体的』モノイダルファイブレーション（全カテゴリがモノイダル）と『ファイバー内』モノイダルファイブレーション（ファイバーがモノイダルで再インデックス化関手が強いモノイダル）の間の概念的・技術的差異を明確にすること。
• 底カテゴリが余カルテシアンモノイダルであるとき、(Cat, ×, 1) へのラックスモノイダルプシーファンクターとMonCatへのプシーファンクターの間の明確な対応関係を確立すること。
• モノイダル・グロテンドイック構成が、ネットワークモデル、システム理論、およびモジュールや代数的構造といった代数的構造の文脈において、自然に生じることを示すこと。
• 将来の豊密化および高階圏的一般化のための基礎的枠組みを提供すること。

提案手法

• ファイブレーションの2-圏とインデックス付きカテゴリの2-圏における、プシーモノイドの間の標準的同値性を2-同値性へと拡張する。
• モノイダル・ファイブレーションを、ドメインのテンソル積に対してカルテシアン・リフト条件を満たす厳密モノイダル関手として定義し、モノイダル・インデックス付きカテゴリをCatへのラックスモノイダルプシーファンクターとして定義する。
• 2-圏的道具立てを用いて、ラックスモノイダルプシーファンクターの全カテゴリに自然なモノイダル構造を構成し、ファイブレーションがテンソル積を厳密に保存することを保証する。
• 底カテゴリが余カルテシアンモノイダルであるとき、(Cat, ×, 1) へのラックスモノイダルプシーファンクターとMonCatへのプシーファンクターの間で、モノイダル・グロテンドイック構成を通じて双対性が成立することを証明する。
• 余積と普遍性を用いてファイバーに明示的なモノイダル構造を構成し、自然性とプシーファンクター性により再インデックス化関手が自動的に強いモノイダル関手であることを検証する。
• 自然同型をラックスアダプターやユニタリアの性質から導出することで、全カテゴリに誘導されるモノイダル構造が、結合則と単位則の必要な整合性条件を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的グロテンドイック同値性（ファイブレーションとインデックス付きカテゴリの間）をモノイダル設定へとどのように拡張できるか？
• RQ2 『全体的』モノイダルファイブレーション（全カテゴリがモノイダル）と『ファイバー内』モノイダルファイブレーション（ファイバーがモノイダルで再インデックス化関手が強いモノイダル）との間の正確な関係は何か？
• RQ3 ラックスモノイダルプシーファンクターが(Cat, ×, 1) に倣うとき、どのような条件下でMonCatへのプシーファンクターに対応するか？
• RQ4 モノイダル・グロテンドイック構成は、ネットワーク理論やシステム理論における異なる圏的枠組みをどのように統合するか？
• RQ5 モノイダル構造が、プシーファンクターのラックスモノイダル構造から自然に生じるための構造的条件は何か？

主な発見

• 本稿は、モノイダル・ファイブレーションとモノイダル・インデックス付きカテゴリの間で2-同値性を確立し、古典的グロテンドイック構成をモノイダル設定へと一般化する。
• 底カテゴリが余カルテシアンモノイダルであるとき、(Cat, ×, 1) へのラックスモノイダルプシーファンクターとMonCatへのプシーファンクターの間で双対性が成立し、長年の文献上の曇りを解消する。
• 全カテゴリ上のモノイダル構造は、プシーファンクターのラックスモノイダル構造から自然に誘導され、ファイブレーションはテンソル積を厳密に保存する。
• ファイバーは余積と普遍写像を用いてモノイダル構造を獲得し、自然性とプシーファンクター性により再インデックス化関手は自動的に強いモノイダル関手である。
• 構成は、braided および symmetric モノイダルバージョンへと自然に拡張可能であり、誘導された全カテゴリは底カテゴリのbraidingにより対応する構造を引き継ぐ。
• この枠組みは、装飾付きコスパン、ネットワークモデル、(co)モジュール、(co)モノイドのための(コ)モジュール、およびシステム理論的合成といった多様な具体例に適用可能であり、広範な適用可能性を示している。